[論文レビュー] von Neumann-Landau equation for wave functions, wave-particle duality and collapses of wave functions

Zeqian Chen|ArXiv.org|Mar 22, 2007

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ひとこと要約

本稿では、波動関数のためのフォン・ノイマン＝ランダウ方程式（vNLW）を、波動と粒子の二重性を数学的に形式化するためのシュレーディンガー方程式の拡張として導入する。この方程式により、フォン・ノイマンのエントロピーが波動的および粒子的挙動の補完性を定量的に測定できることを示し、波動関数の収束を複数の量子状態から一つの状態への同時遷移として再解釈する。

ABSTRACT

It is shown that von Neumann-Landau equation for wave functions can present a mathematical formalism of motion of quantum mechanics. The wave functions of von Neumann-Landau equation for a single particle are `bipartite', in which the associated Schrödinger's wave functions correspond to those `bipartite' wave functions of product forms. This formalism establishes a mathematical expression of wave-particle duality and that von Neumann's entropy is a quantitative measure of complementarity between wave-like and particle-like behaviors. Furthermore, this extension of Schrödinger's form suggests that collapses of Schrödinger's wave functions can be regarded as the simultaneous transition of the particle from many levels to one.

研究の動機と目的

• 波動関数のための拡張された波動方程式を用いて、量子力学における波動と粒子の二重性の数学的形式を確立すること。
• フォン・ノイマンのエントロピーが波動的および粒子的挙動の補完性を定量的に測定することを示すこと。
• シュレーディンガーの波動関数の収束を、粒子が複数のエネルギー準位から一つの準位へ同時に遷移するものとして再解釈すること。
• 測定に依存しない波動と粒子の二重性の記述を提供し、不確定性原理に依存しないこと。

提案手法

• 『二重の』波動関数 Ψ(x,y;t) を用いた微分方程式として、波動関数のためのフォン・ノイマン＝ランダウ方程式（vNLW）を導出する。その支配方程式は iℏ ∂Ψ/∂t = (Ĥ(x) − Ĥ(y))Ψ である。
• 『二重の』波動関数を、二つの空間変数に関する L² 空間の要素として定義し、単粒子シュレーディンガー波動関数の一般化とする。
• vNLW の一般解を、積状態 ψₙ(x)ψₘ*(y) の重ね合わせとして表現し、係数 cₙₘ をエネルギー準位間の遷移振幅として解釈する。
• 波動関数 Ψ から導かれる密度行列 ρ を用いて、von Neumann エントロピー S(Ψ) = −Tr[ρ log ρ] を導入し、波動と粒子の二重性を定量的に測定する。
• 二つの極限的状況を分析する：Ψ_W（コherentな重ね合わせ、波動的）および Ψ_P（非coherentな混合状態、粒子的）。S(Ψ) が 0 から (1/2)ln2 の範囲にあることを示す。
• この形式を用いて、波動関数の収束を、複数の準位から一つの準位への確率的遷移として再解釈し、確率 pₘ = Σₙ|cₙₘ|² を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動関数のためのフォン・ノイマン＝ランダウ方程式は、波動と粒子の二重性のための数学的形式を提供できるか？
• RQ2 フォン・ノイマンのエントロピーは、単一の量子系における波動的および粒子的挙動の補完性をどのように定量的に測定するか？
• RQ3 シュレーディンガーの波動関数の収束は、複数の量子状態から一つの状態への同時に遷移として解釈できるか？
• RQ4 vNLW 形式は、不確定性原理に依存しない測定に依存しない波動と粒子の二重性の記述を可能にするか？
• RQ5 『二重の』波動関数は、重ね合わせと測定結果の記述を統合する役割を果たすか？

主な発見

• 波動関数のためのフォン・ノイマン＝ランダウ方程式（vNLW）は、シュレーディンガー方程式の有効な拡張であり、波動関数 Ψ(x,y;t) を iℏ ∂Ψ/∂t = (Ĥ(x) − Ĥ(y))Ψ で支配する。
• 波動関数 Ψ から導かれる密度行列のフォン・ノイマンエントロピー S(Ψ) は、波動的および粒子的挙動の補完性を定量的に測定でき、0 ≤ S(Ψ) ≤ (1/2)ln2 の範囲にある。
• 二重スリット実験における1つの電子について、Ψ_W は波動的干渉（S(Ψ_W) > 0）を表し、Ψ_P は粒子的局在（S(Ψ_P) = (1/2)ln2）を表す。
• 重ね合わせ状態 ψ = Σₙ aₙψₙ の収束は、粒子がすべての準位 ψₙ から確率 |aₘ|² で一つの準位 ψₘ へ同時に遷移するものとして解釈される。
• 収束に伴うエネルギー変化は △Eₘ = Σₙ |cₙₘ|² (Eₙ − Eₘ) で与えられ、標準的な重ね合わせの場合 cₙₘ = aₙaₘ* である。
• この形式は、補完性の度合いが直接エントロピー S(Ψ) に符号化された、測定に依存しない波動と粒子の二重性の記述を提供する。