[論文レビュー] VON NEUMANN RHO INVARIANTS AS OBSTRUCTIONS TO TORSION IN THE TOPOLOGICAL KNOT CONCORDANCE GROUP

Christopher William Davis|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トポロジカルな knot concordance 群における torsion の障害として機能する無限族のメタアベル型 von Neumann ρ-不変量を導入する。これらの不変量がアーティキュレートな knot によって生成される部分群上で適切に定義されることを示すことにより、著者らは、1つの不変量の計算でも knot が無限大位数をもつことを示せることを証明した。さらに、これらの不変量の計算可能な上界を用いて、代数的位数 2 である線形独立な無限個の twist knot を明示的に構成した。

ABSTRACT

Abstract. We discuss an infinite class of metabelian Von Neumann ρ-invariants. Each one is a homomorphism from the monoid of knots to R. In general they are not well defined on the concordance group. Nonetheless, we show that they pass to well defined homomorphisms from the subgroup of the concordance group generated by anisotropic knots. Thus, the computation of even one of these invariants can be used to conclude that a knot is of infinite order. We introduce a method to give a computable bound on these ρ-invariants. Finally we compute this bound to get a new and explicit infinite set of twist knots which is linearly independent in the concordance group and whose every member is of algebraic order 2. 1.

研究の動機と目的

• メタアベル型 von Neumann ρ-不変量の knot concordance における挙動を調査し、特に非 torsion 要素の検出への適用可能性を明らかにすること。
• これらの ρ-不変量が concordance 群上でいつ適切に定義されるか、特にアーティキュレートな knot との関係において特定すること。
• これらの ρ-不変量を計算可能な方法で上界づける手法を開発し、明示的な計算を可能にすること。
• 上界を用いて、concordance 群において線形独立でかつ代数的位数 2 である無限族の twist knot を明示的に構成すること。

提案手法

• 著者らは、knot のモノイドから実数へのホモモーフィズムとして、無限個のメタアベル型 von Neumann ρ-不変量を定義する。
• これらの不変量が、アーティキュレートな knot によって生成される部分群上で適切に定義されたホモモーフィズムに下降することを確立する。
• von Neumann 代数と knot 理論の代数的・解析的技術を用いて、ρ-不変量の有効な上界を計算するための新規な手法を導入する。
• この上界を twist knot の族に適用し、不変量の明示的計算と線形独立性の検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メタアベル型 von Neumann ρ-不変量が concordance 群上でいつ適切に定義されるか。
• RQ2 これらの ρ-不変量を用いて、トポロジカル concordance 群における無限大位数の knot を検出できるか。
• RQ3 明示的な計算を可能にする、これらの ρ-不変量の計算可能な上界は何か。
• RQ4 この上界を用いて、代数的位数 2 である線形独立な無限個の twist knot の族を構成できるか。

主な発見

• ρ-不変量は、アーティキュレートな knot によって生成される concordance 群の部分群上で適切に定義され、torsion の障害として利用可能である。
• 1つの ρ-不変量の計算でも、knot がトポロジカル concordance 群において無限大位数をもつことを証明できる。
• ρ-不変量の計算可能な上界が導出され、明示的な計算が可能になった。
• concordance 群において線形独立である明示的な無限個の twist knot の族が構成された。
• この無限族のすべての要素が代数的位数 2 であることが示された。
• 構成法により、ρ-不変量が具体的かつ計算可能な例を通じて、concordance 群における非 torsion 要素を検出できることを示した。