[論文レビュー] Voronoi Partition-based Scenario Reduction for Fast Sampling-based Stochastic Reachability Computation of LTI Systems

Hossein Sartipizadeh, Abraham P. Vinod+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

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ひとこと要約

本稿では、線形時不変（LTI）システムにおけるサンプリングベースの確率的到達可能性計算を高速化するため、ボロノイ分割に基づくシナリオ削減手法を提案する。サンプルされた摂動を代表的なセルにクラスタリングし、各セルごとに制約を厳密化することで、真の到達・回避確率を保証された信頼性とともに下界近似する。計算コストを削減しながらも精度を維持できることを示しており、オンライン実行時間を40個のセルで66秒（フーリエ法）から0.6秒にまで短縮した。

ABSTRACT

In this paper, we address the stochastic reach-avoid problem for linear systems with additive stochastic uncertainty. We seek to compute the maximum probability that the states remain in a safe set over a finite time horizon and reach a target set at the final time. We employ sampling-based methods and provide a lower bound on the number of scenarios required to guarantee that our estimate provides an underapproximation. Due to the probabilistic nature of the sampling-based methods, our underapproximation guarantee is probabilistic, and the proposed lower bound can be used to satisfy a prescribed probabilistic confidence level. To decrease the computational complexity, we propose a Voronoi partition-based to check the reach-avoid constraints at representative partitions (cells), instead of the original scenarios. The state constraints arising from the safe and target sets are tightened appropriately so that the solution provides an underapproximation for the original sampling-based method. We propose a systematic approach for selecting these representative cells and provide the flexibility to trade-off the number of cells needed for accuracy with the computational cost.

研究の動機と目的

• 加法的確率的不確実性を有するLTIシステムにおける、サンプリングベースの確率的到達・回避解析の高い計算複雑性に対処すること。
• 近似誤差の上限が所望の信頼水準で保証されるようにするための、シナリオ数の確率的下界を提供すること。
• ボロノイ分割を用いたシナリオの再構成により、真の到達・回避確率を計算的に効率よく下界近似する手法を開発すること。
• 調整可能な分割数を用いることで、精度と計算コストのトレードオフを許容し、リアルタイム適用を可能にすること。
• 宇宙船のランデブーとドッキング問題に対して、定量的な実行時間と精度の比較を通じて、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• Hoeffdingの不等式を用いて、ユーザー指定の信頼水準で近似誤差の上限を確実に達成するための、必要なシナリオ数の下界を導出する。
• k-meansクラスタリングを用いて、元の摂動シナリオをK個の代表的ボロノイセルにグループ化し、各セルにシードポイントを割り当てる。
• 各セルに対して状態制約を厳密化し、元のMILP定式化に対する有効な下界近似が保たれるようにする。
• 全シナリオ集合ではなくK個の代表セルに基づいて混合整数線形計画問題（MILP）を定式化することで、二値変数と計算コストを削減する。
• オフラインで、各セル数におけるクラスタ内分散の和（WSS）曲線を用いて、精度と実行時間のバランスを最適化するセル数を選択する。
• 削減されたMILPの解から、真の確率に対する下界を保証した近似到達・回避確率を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユーザー指定の近似誤差上限を、所望の信頼水準で確実に満たすために必要な最小シナリオ数は何か？
• RQ2 元のサンプリングベースの到達・回避計算における下界近似性を保ちつつ、シナリオ削減をどのように実施できるか？
• RQ3 削減問題における計算効率と精度のバランスを最適化するためのボロノイセルの最適数は何か？
• RQ4 フーリエ変換法やパーティクルフィルタ法といった既存の最先端手法と比較して、本手法の精度と実行時間はどのように異なるか？
• RQ5 本手法は、宇宙船のランデブーとドッキングといったリアルタイム制御問題に効果的に適用可能か？

主な発見

• オンライン計算時間を66秒（フーリエ法）から40個のセルで0.6秒にまで短縮し、99％の高速化を達成した。
• 40個のセルで推定された終端到達・回避確率は0.8492であり、真値の0.86に近く、高い精度を示した。
• 20個のセルでも0.83の到達確率を達成しており、低分割数でも優れた性能を示した。
• WSS曲線の解析から、20〜40個のセルを超えると利得が著しく減少することが示され、20〜40個のセルが精度とコストの実用的トレードオフを提供することが示唆された。
• 最適なセル数の選定に必要なオフラインのWSS計算は、平均2.68秒で実行可能であり、リアルタイムシステム設計においても実用的であることがわかった。
• シナリオ数に伴いMILPの計算量が指数関数的に増加するため、本手法は、大規模なシナリオ数においてもパーティクルフィルタベースの手法を著しく上回った。