[論文レビュー] Voronoi summation for ${ m GL}_n$: collusion between level and modulus

Andrew Corbett|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n \geq 2$ に対して、レベルの側面における $Γν$-自己形式の一般性が最も高い Vorono"{i} 係数和公式を確立し、素数におけるレベルとモジュラスの共同分岐に関する長年の課題を解決する。Ichino–Templier の先行研究を、局所的関数方程式から導かれる新規の $p$-進ベッセル変換を用いて拡張し、算術的等差数列におけるフーリエ係数とキャンセルを伴う双対和に対する精密な制御を可能にする。

ABSTRACT

We investigate the Voronoi summation problem for ${ m GL}_n$ in the level aspect for $n\geq 2$. Of particular interest are those primes at which the level and modulus are jointly ramified - a common occurrence in analytic number theory when using techniques such as the Petersson trace formula. Building on previous legacies, our formula stands as the most general of its kind; in particular we extend the results of Ichino-Templier. We also give (classical) refinements of our formula and study the $p$-adic generalisations of the Hankel transform.

研究の動機と目的

• レベルとモジュラスが素数で共同分岐する場合に、$Γν$ における一般 Vorono"{i} 係数和公式の欠如を解消すること。
• Ichino–Templier の結果を、すべての $n \geq 2$ および任意のレベル $N$ に対して有効な完全な一般公式へと拡張すること。
• テストベクトルの選択を工夫することで、ベッセル変換を単純化し、算術的等差数列における和の明示的定式化を可能にする、古典的精錬を提供すること。
• $Γν \times \u0393Δ$ $L$-関数の局所的関数方程式を用いた、ハッケル変換の $p$-進一般化を構築すること。
• $n > 2$ における Atkin–Lehner 理論の欠如による障害を、$p$-進変換を用いて局所的に双対和項を解析することで克服すること。

提案手法

• すべての場所（含む $p$-進場）における Whittaker モデルと局所的関数方程式を用いて、$\u0393ν$-自己形式の一般 Vorono"{i} 係数和公式を導出する。
• レベル $N$ を割る素数における $\u0393ν \times \u0393Δ$ $L$-関数の局所的関数方程式から、共同分岐を制御できる $p$-進ベッセル変換を構築する。
• 中国剰余定理と帰納的変数変換を用いて、ハイパークロースタンマーサムを、明示的な指数関数項を含む古典的クロースタンマーサムに展開する。
• ベッセル変換を単純化し、算術的等差数列における和の明確な定式化を可能にする、洗練されたテストベクトルの選択を導入する。
• $p$-進変換を用いて、局所的成分 $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$ を介して双対和を解析し、$\gamma_0$ が特定の有理格子上にある場合にのみ非ゼロとなることを保証する。
• 元の $m$ に関する和と、$d_{n-1}, \dots, d_2, m$ に関する双対和との間の明確な双対性を確立し、$\operatorname{KL}_{n-1}$, $\chi$, およびベッセル変換を含む係数を伴う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベルとモジュラスが素数で共同分岐する場合に、$\u0393ν$ における Vorono"{i} 係数和公式をどのようにレベルの側面に拡張できるか。
• RQ2 レベルとモジュラスが両方分岐する $p$-進設定におけるベッセル変換の構造はいかなるものか。
• RQ3 一般公式を、明示的なテストベクトルと算術的等差数列の和を含む古典的定式化へと精錬できるか。
• RQ4 局所的成分 $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$ は共同分岐下でどのように振る舞い、双対和にどのような制約を課えるか。
• RQ5 Kloosterman 和とベッセル変換の観点から、元の $m$ に関する和と、$d_{n-1}, \dots, d_2, m$ に関する双対和との間の明確な関係は何か。

主な発見

• 本稿は、$n \geq 2$ に対して、任意のレベル $N$ およびモジュラス $M$ を想定し、素数における共同分岐を許容する、$\u0393ν$-自己形式のレベルの側面における完全な一般 Vorono"{i} 係数和公式（定理 1.1）を確立する。
• 双対和は、$\gcd(m, MN) = 1$ を満たす $m$ に関する和として表され、古典的クロースタンマーサム $\operatorname{KL}_{n-1}(\bar{a}\ell\gamma_0, m; q, c, d)$ を含む。ここで $a\bar{a} \equiv 1 \pmod{q}$ である。
• ベッセル変換は、局所的関数方程式から導かれる $p$-進一般化を用いて明示的に計算され、$p \mid MN$ の場合に $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$ を含む明確な表現が得られる。
• 古典的精錬（系 1.4）は、特定のテストベクトル選択による簡略化されたベッセル変換を提供し、フーリエ係数のより明確な解析を可能にする。
• 第二の精錬（系 1.6）は、算術的等差数列における和の定式化を提供し、双対和は $m \equiv 1 \pmod{N}$ かつ $\gcd(m, MN) = 1$ を満たす $m$ でインデックス付けされ、文字指向 $\chi(\bar{m} \cdot \text{denom})^{-1}$ を含む。
• 最終的な公式（式 (41)）は、元の和を $m$, $r$, $d_{n-1}, \dots, d_2$ に関する双対和として表現し、双対和項に $\operatorname{KL}_{n-1}$, $\chi$, およびベッセル変換を含む。ここで $\lambda_\ell = [\ell, N]\ell^{n-1}L^n$ であり、$L$ は $MN$ の最大の平方自由因子である。