[論文レビュー] Voter Model Perturbations and Reaction Diffusion Equations

J. Theodore Cox, Richard Durrett+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 41被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、有限範囲かつ並進不変性を持つボルダー・モデルの摂動が、$d \geq 3$次元において拡散スケーリングの下で反応拡散方程式の解に収束することを確立している。主な貢献は、粒子系のダイナミクスとPDEを結びつける一般枠組みの構築であり、非自明な定常分布および消滅の鋭い条件を導出し、生態学的・進化的モデルの3例で確認された。

ABSTRACT

We consider particle systems that are perturbations of the voter model and show that when space and time are rescaled the system converges to a solution of a reaction diffusion equation in dimensions $d \ge 3$. Combining this result with properties of the PDE, some methods arising from a low density super-Brownian limit theorem, and a block construction, we give general, and often asymptotically sharp, conditions for the existence of non-trivial stationary distributions, and for extinction of one type. As applications, we describe the phase diagrams of three systems when the parameters are close to the voter model: (i) a stochastic spatial Lotka-Volterra model of Neuhauser and Pacala, (ii) a model of the evolution of cooperation of Ohtsuki, Hauert, Lieberman, and Nowak, and (iii) a continuous time version of the non-linear voter model of Molofsky, Durrett, Dushoff, Griffeath, and Levin. The first application confirms a conjecture of Cox and Perkins and the second confirms a conjecture of Ohtsuki et al in the context of certain infinite graphs. An important feature of our general results is that they do not require the process to be attractive.

研究の動機と目的

• 高次元（$d \geq 3$）における摂動ボルダー・モデルと反応拡散方程式の間の厳密な関係を確立すること。
• 相互作用粒子系における非自明な定常分布の存在について、漸近的に鋭い条件を導出すること。
• ボルダー・モデルの弱い有限範囲の摂動を伴う系において、1種の消滅基準を特定すること。
• 一般理論を3つの具体的なモデル（確率的空間的ロトカ＝ヴォリエーラ、進化的協力、非線形ボルダー・モデル）に適用すること。
• 文献に長年残された、これらのモデルの相図がボルダー・モデル近傍でどのように振る舞うかに関する予想を確認すること。

提案手法

• 空間時間スケーリング（$\varepsilon \to 0$）を用いて、反応拡散PDEへの流体力学的極限を導出する。
• ブロック構成と双対性技術を用いて、粒子系の長大な空間時間スケールにおける挙動を制御する。
• 低密度の超ブラウン運動極限定理を用いて、希少事象および消滅特性を分析する。
• 符号付き摂動 $h_i^\varepsilon$ を取り扱うために、非負のレート $g_i^\varepsilon$ を用いた双対過程を構築する。
• 相互作用カーネルの弱いモーメントおよび尾部条件の下で、スケーリングされた粒子系が反応拡散方程式の解に収束することを確立する。
• カップリング論法と空間時間領域（例：立方体 $Q^\varepsilon(L)$）の幾何的制御を用いて、1種の粒子の消滅または存続を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動ボルダー・モデルが $d \geq 3$ において非自明な定常分布を示す条件は何か？
• RQ2 摂動ボルダー・モデルにおいて、1種がほとんど確実に消滅するのはいつか？
• RQ3 確率的空間的ロトカ＝ヴォリエーラおよび協力モデルの相図は、ボルダー・モデルのパrameter領域に近いとどのように振る舞うか？
• RQ4 一般収束枠組みは、符号付き摂動を伴う非吸引的系にも適用可能か？
• RQ5 反応拡散PDEは、相互作用粒子系の長期的挙動を予測する上で果たす役割は何か？

主な発見

• スケーリングされた粒子系は、$d \geq 3$次元において拡散スケーリングの下で反応拡散方程式の解に収束する。
• 本手法により、CoxとPerkins [8] が提起した確率的空間的ロトカ＝ヴォリエーラモデルの相図に関する予想が確認された。
• 本理論により、Ohtsukiたちは[38]が無限グラフ上での協力の進化に関する予想を確認した。
• 極限PDEの反応項が安定平衡を支持する場合、非自明な定常分布が存在する。
• PDEの解が吸収状態 $u \equiv 0$ に収束する場合、双対過程の幾何的制御により1種の消滅が示された。
• 長期的には0種が正の確率で優勢となり、空間時間的に線形に成長する0の領域が現れる。