[論文レビュー] W^{1,1}_0 minima of non coercive functionals

Lucio Boccardo, Gisella Croce+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、非強凸な積分汎関数に対して、$W^{1,1}_0(\Omega)$ における最小値の存在を示す。$H^1_0(\Omega)$ 上で定義された汎関数 $J(v) = \int_\Omega \frac{j(x,\nabla v)}{(1 + b(x)|v|)^2} + \frac{1}{2}\|v\|_{L^2}^2 - \int_\Omega f v$ について、$j$, $b$, および $f \in L^2(\Omega)$ に対して標準的な仮定の下で、非反射的空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ においても $L^2$-ノルム項のおかげで強凸性が回復されることを示し、近似と弱収束の技法を用いて最小値の存在を証明する。

ABSTRACT

We study an integral non coercive functional defined on H^1_0, proving the existence of a minimum in W^{1,1}_0.

研究の動機と目的

• 非反射的空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ における非強凸汎関数 $J$ の最小値の存在を確立すること。標準的な直接法が、$W^{1,1}_0(\Omega)$ の非反射性のため失敗するが、その状況を克服する。
• 非反射的空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ における直接法の失敗を、下位の $L^2$-ノルム項を導入することで補い、この空間上での強凸性を回復させること。
• 特に、被積分関数に退化または特異的重みを含む汎関数について、反射的ソボレフ空間を超えた最小値理論を拡張すること。
• トレントレーションと弱収束を用いた厳密な近似に基づく証明戦略を提供すること。これは、汎関数が $H^1_0(\Omega)$ 上で強凸でない場合でも有効である。

提案手法

• 元の汎関数 $J$ を、切り捨てられたデータ $f_n = T_n(f)$ を用いて近似し、$J_n(v) = \int_\Omega \frac{j(x,\nabla v)}{(1 + b(x)|v|)^2} + \frac{1}{2}\|v\|_{L^2}^2 - \int_\Omega f_n v$ を定義する。この $J_n$ は $H^1_0(\Omega)$ 上で強凸かつ弱下半連続である。
• トレントレーション $T_M(v)$ とエネルギー推定から得られる事前 $L^\infty$ 界を用いて、標準的な変分法により各 $J_n$ に対して最小値 $u_n \in H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ の存在を証明する。
• 仮定 (1) および (2) に基づき、$\nabla u_n$ に対する $L^2$ および $L^1$ における一様有界性を確立し、$L^2$-ノルム項を用いて成長を制御し、$\{u_n\}$ が $W^{1,1}_0(\Omega)$ 内で有界であることを保証する。
• $n \to \infty$ の極限をとる際、$H^1_0(\Omega)$ 内の弱収束、ほとんど everywhere 収束、および Vitali の定理を用いて、$u \in W^{1,1}_0(\Omega) \cap L^2(\Omega)$ への極限を抽出する。
• $\frac{\nabla u_n}{1 + b(x)|u_n|}$ が $(L^1(\Omega))^N$ 内で $\frac{\nabla u}{1 + b(x)|u|}$ に弱収束することを、Egorov の定理と等積分可能性を用いて証明し、非線形項における正しい極限を保証する。
• 汎関数の下半連続性と近似の極限を用いて、極限 $u$ が $H^1_0(\Omega)$ 上で $J$ を最小化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反射的空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ において、標準的直接法が非反射性のため失敗する場合、$H^1_0(\Omega)$ 上の非強凸汎関数に対して最小値を保証できるか？
• RQ2 下位の $L^2$-ノルム項の追加が、非反射的空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ 上で強凸性を回復させ、この空間内での最小値の存在を可能にするか？
• RQ3 被積分関数に退化的重み $\frac{1}{(1 + b(x)|v|)^2}$ を含む汎関数に対して、弱下位連続性が $W^{1,1}_0$ 上に成り立たない場合でも、近似と弱極限の技法により最小値を取得できるか？
• RQ4 近似最小値 $u_n$ の極限 $u$ が実際に $W^{1,1}_0(\Omega)$ 内の最小値であるか、また弱い意味でオイラー＝ラグランジュ方程式を満たすか？
• RQ5 与えられた仮定の下で、$\frac{\nabla u_n}{1 + b(x)|u_n|}$ が $L^1$ で $\frac{\nabla u}{1 + b(x)|u|}$ に収束するかを確立できるか？

主な発見

• $f \in L^2(\Omega)$ のもとで、汎関数 $J(v) = \int_\Omega \frac{j(x,\nabla v)}{(1 + b(x)|v|)^2} + \frac{1}{2}\|v\|_{L^2}^2 - \int_\Omega f v$ に対して、$J$ が $H^1_0(\Omega)$ 上で強凸でないにもかかわらず、最小値 $u \in W^{1,1}_0(\Omega) \cap L^2(\Omega)$ が存在する。
• $J$ は $L^2$-ノルム項のおかげで $W^{1,1}_0(\Omega)$ 上で強凸である。この項が $\|\nabla v\|_{L^1}$ の成長を制御し、近似によるコンパクトネスを可能にする。
• $u_n$ の近似最小値列は、$\|\nabla u_n\|_{L^2} \leq \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} \|f\|_{L^2}$ を満たし、$n$ に依存しない一様有界性を示し、$H^1_0(\Omega)$ 内で有界であることを保証する。
• $u_n$ の極限 $u$ は、すべての $k > 0$ に対して $T_k(u) \in H^1_0(\Omega)$ を満たす。これは、$u$ がトレントケーションの意味で弱解であることを確認する。
• $\frac{\nabla u_n}{1 + b(x)|u_n|} \rightharpoonup \frac{\nabla u}{1 + b(x)|u|}$ が $(L^1(\Omega))^N$ 内で弱収束する。これは非線形項における極限の取り扱いに不可欠である。
• $u$ はすべての $v \in H^1_0(\Omega)$ に対して $J(u) \leq J(v)$ を満たす。これにより、$W^{1,1}_0(\Omega)$ 内にグローバル最小値が存在することが証明される。