[論文レビュー] $W^{2,1}$ regularity for solutions of the Monge-Ampère equation

Guido De Philippis, Alessio Figalli|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$f$ が0および無限大から有界に離れているとき、Monge-Ampère方程式 $\det D^2u = f$ の厳密に凸なアレクサンドロフ解 $u$ に対して $W^{2,1}_{\rm loc}$ 正則性を確立する。$D^2u \in L\log^kL$（任意の $k \in \mathbb{N}$）であるという高階可積分性推定を示すことにより、最適輸送および微分幾何学におけるSobolev正則性に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we prove that a strictly convex Alexandrov solution u of the Monge-Ampère equation, with right hand side bounded away from zero and infinity, is $W_{ m loc}^{2,1}$. This is obtained by showing higher integrability a-priori estimates for $D^2 u$, namely $D^2 u \in L\log^k L$ for any $k\in \mathbb N$.

研究の動機と目的

• 有界な右辺 $f$ を持つMonge-Ampère方程式の解が $W^{2,1}_{\rm loc}$ に属するかどうかという未解決問題を解消すること。
• $p>1$ の $L^p$ を超える $D^2u$ の高階可積分性推定を、特にOrlicz空間 $L\log^kL$ において確立すること。
• 微分包含や反例に依存せずに、Monge-Ampère方程式のレベルで直接的な証明を提供すること。
• 正則性結果を最適輸送写像およびミンコフスキー問題に拡張し、輸送写像 $T=\nabla u$ が $W^{1,1}_{\rm loc}$ に属することを示すこと。

提案手法

• $\|D^2u\|$ のレベル集合を制御するための最大関数技法と被覆論法の使用。
• Vitaliの被覆補題とdyadic分解を用いて、$D^2u$ のレベル集合を中空領域や球体に関連付ける。
• 層ケーキ表現とFubiniの定理を用いて、反復積分による $L\log^kL$ ノルムの推定を行う。
• 重要な事前推定の導出: すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $\int_{\Omega'} \|D^2u\| \log^k(2 + \|D^2u\|) \leq C$ が成り立ち、$C$ は $k,n,\lambda,\Lambda,\Omega,\Omega'$ に依存する。
• 普遍定数を固定し、ドメインサイズへの依存を減らすために $u$ の正規化。
• 主推定をSavinの結果と組み合わせることで、同じ仮定のもとでグローバルな $W^{2,1}$ 正則性を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < \lambda \leq f \leq \Lambda$ を満たす厳密に凸なアレクサンドロフ解 $u$ が $\det D^2u = f$ を満たすとき、$u \in W^{2,1}_{\rm loc}$ であるか。
• RQ2 同様の仮定のもとで、$D^2u$ の $L^p$（$p>1$）を超える高階可積分性は確立可能か。
• RQ3 $W^{2,1}$ 正則性は最適か、それとも $p>1$ の $W^{2,p}$ に改善可能か。
• RQ4 有界な $f$ のもとで、$D^2u$ を制御する正確なOrlicz空間ノルム（例：$L\log^kL$）は何か。
• RQ5 $W^{2,1}$ 結果をグローバル正則性に拡張し、最適輸送写像に応用可能か。

主な発見

• $0 < \lambda \leq f \leq \Lambda$ を満たす任意の厳密に凸なアレクサンドロフ解 $u$ に対して、$\det D^2u = f$ を満たすとき、$D^2u$ は $\Omega$ のコンパクト部分集合上ですべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $D^2u \in L\log^kL$ を満たす。
• すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して、主推定 $\int_{\Omega'} \|D^2u\| \log^k(2 + \|D^2u\|) \leq C(k,n,\lambda,\Lambda,\Omega,\Omega')$ が成り立ち、$C$ は与えられたパラメータにのみ依存する。
• その結果、$u \in W^{2,1}_{\rm loc}(\Omega)$ が成り立ち、Monge-Ampère方程式理論における未解決問題が解決される。
• 正の下限と上限をもつ密度に対して関連する最適輸送写像 $T = \nabla u$ は、$\Omega_2$ が凸であれば $W^{1,1}_{\rm loc}(\Omega_1)$ に属する。
• 結果はほぼ最適である：Wangの反例により、$\Lambda/\lambda$ が大きい場合には $p$ が1に限りなく近いとき $W^{2,p}$ 正則性が失敗することが示されている。
• $L\log^kL$ 推定により、Savinのグローバル正則性結果を適用可能となり、グローバル $W^{2,1}$ 框組みにおいて $L^p$ ノルムの代わりに $L\log^kL$ ノルムを用いることができる。