[論文レビュー] W-algebras associated to surfaces

Andrei Neguţ|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面 S 上の安定層のモジュライ空間の K-理論に、型 glr の変形 W-代数の作用を構成し、Nakajima の特同調的構成を一般化する。導来代数的幾何における対応と二重シャッフル代数を用いて、W-代数作用が、次数 > r の生成子が 0 に写される商へ因数分解することを証明し、K-理論的幾何的表現論を通じて任意の曲面における 5次元 AGT 対応の数学的実現を確立する。

ABSTRACT

We define an integral form of the deformed W-algebra of type gl_r, and construct its action on the K-theory groups of moduli spaces of rank r stable sheaves on a smooth projective surface S, under certain assumptions. Our construction generalizes the action studied by Nakajima, Grojnowski and Baranovsky in cohomology, although the appearance of deformed W-algebras by generators and relations is a new feature. Physically, this action encodes the AGT correspondence for 5d supersymmetric gauge theory on S x circle.

研究の動機と目的

• 型 glr の変形 W-代数の整数型 Ar を定義し、滑らかな射影的曲面 S 上の安定層のモジュライ空間の K-理論への作用を構成すること。
• Nakajima の特同調的 W-代数作用の構成を、特にトーリックまたは A2 の場合に限らない任意の曲面に対し、K-理論的設定へ一般化すること。
• K-理論的幾何的表現論を用いて、S × S¹ 上のランク r > 1 のゲージ理論における 5次元 AGT 対応の数学的実現を確立すること。
• W-代数 Ar の作用が、次数 > r の生成子が消える商へ因数分解することを、幾何的および特同調的議論を用いて証明すること。
• ボゴモロフ不等式と導来対応に依拠して、K-理論的加群における高次元 W-生成子の消滅を幾何的に証明すること。

提案手法

• 二重シャッフル代数 A の完備化を用いて、Z[q₁±¹, q₂±¹] 上の生成子 Wn,k (n ∈ Z, k = 1, ..., r) を持つ変形 W-代数 Ar を定義する。
• 導来代数的幾何における明示的対応 Z₁ と Z•₂ を用いて、K-理論群 KM への二重シャッフル代数 A の作用を構成する。
• A を完備化 bA として上に持ち上げ、A∞ へ作用を拡張し、Ar = A∞ / (Wn,k for k > r) による商への作用が成り立つことを示す。
• Nakajima–Grojnowski–Baranovsky の構成における特異点を解消する対応 Z₁ と Z•₂ を dg スキームとして用い、仮定 S の下でその滑らかさを証明する。
• 式 (6.18) を用いて T←, T→, E0,k 生成子による Wd,k の表現を示し、チャーン類作用と行列式バンドルを介して KM 上の作用を解釈する。
• 定理 6.9 を証明する際、導来ファイバー積 Wd₁,d₂ におけるキャンセレーションの議論を用いて、(6.24) の剰余公式が k > r のとき消えることを示し、Qd₂−1 eL = Qd₂ と行列式ラインバンドルの自然同型を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな射影的曲面に対し、層のモジュライ空間の K-理論への W-代数作用を特同調的から K-理論的設定へ一般化できるか？
• RQ2 型 glr の変形 W-代数が、曲面 S 上の安定層のモジュライ空間の K-理論に作用するか。特に、q₁, q₂ が Ω¹S のチャーン根に一致するか？
• RQ3 なぜ K-理論において k > r のとき W-生成子 Wn,k が消えるのか。モジュールの既約性を仮定せずに幾何的に証明可能か？
• RQ4 対応を介して二重シャッフル代数 A が KM 上に適切に定義された作用を持つのか。また、完備化 bA および商 Ar へ拡張可能か？
• RQ5 任意の曲面上で、K-理論的幾何的表現論を用いて、S × S¹ 上の 5次元超対称ゲージ理論の AGT 対応を数学的に実現可能か？

主な発見

• 本稿は、滑らかな射影的曲面 S 上の安定層のモジュライ空間の K-理論群 KM に、パラメータ q₁, q₂ が余接バンドル Ω¹S のチャーン根に一致するように特定された変形 W-代数 Ar のwell-definedな作用を構成する。
• この作用は、導来代数的幾何における明示的対応 Z₁ と Z•₂ を通じて実現され、仮定 S の下でこれらが滑らかなスキームであることが示され、Nakajima の特同調的構成を一般化する。
• 主たる結果たる定理 6.9 は、k > r のとき W-生成子 Wd,k が KM 内で消えることを証明し、Ar = A∞ / (Wn,k for k > r) における商への作用が、Ar の定義に従って成立することを示す。
• k > r の消滅は、導来ファイバー積 Wd₁,d₂ におけるキャンセレーション機構によって確立され、(d₁, d₂) の寄与と (d₁−1, d₂−1) の寄与が相殺され、(6.26) の剰余積分が消える。
• k = r のとき、Wd,r の作用は (π₁ × πS)∗[(det eU)d₂+1 / ((−1)^r Q^r) · π₂∗] に一致し、これは標準的同型により完全対称関数への写像 ∑ h−d₁ h d₂ ∈ A∞ に対応する。
• 構成は、KS×S のクンメット分解と普遍的局所有意層の存在を含む仮定 B の下で有効であり、P² などの有理曲面に対しても成立する。