[論文レビュー] W-exponentials, Schur elements, and the support of the spherical representation of the rational Cherednik algebra

Stephen Griffeth, Daniel Juteau|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素反射群の有理チャレルニク代数における球的非可約表現 $L_c(\mathbf{1})$ の台を、$W$-指数関数と有限ヘッケ代数のシュール要素を用いて計算する。主な結果として、台が $W$-軌道のストラトムの閉包であることが特定され、ストラトムはある正規化された $W$-指数関数が非ゼロである場合に限り含まれる。これは、部分群の相対シュール要素がパrameter空間内の正の超平面でゼロでない場合に限り成立する。

ABSTRACT

Given a complex reflection group W we compute the support of the spherical irreducible module of the rational Cherednik algebra of W in terms of the simultaneous eigenfunction of the Dunkl operators and Schur elements for finite Hecke algebras.

研究の動機と目的

• 複素反射群 $W$ の有理チャレルニク代数 $H_c(W)$ における球的非可約モジュール $L_c(\mathbf{1})$ の台を特定すること。
• 台の計算問題を、各ストラトム $S$ に関連する正規化された $W$-指数関数 $F_S(c)$ の零点集合に還元すること。
• 部分群の有限ヘッケ代数に関連するシュール要素を用いて、$L_c(\mathbf{1})$ が有限次元であるかどうかを一様に判定する基準を確立すること。
• 実反射群および無限族 $G(r,1,n)$ に対する既知の結果を、すべての複素反射群に一般化すること。

提案手法

• Dunkl作用素の共通固有関数としての $W$-指数関数 $e(x,\lambda,c)$ を定義し、固有値 $\lambda$ を持ち、$e(0,\lambda,c) = 1$ で正規化する。
• 特異点を $c$ の関数として検出するための正則な正規化関数 $F_S(c)$ を導入し、$F_S(c)e(x,\lambda,c)$ が $c$ に関して整関数であるようにする。
• 有限ヘッケ代数 $\mathcal{H}$ と $\mathcal{H}_S$ の誘導と制限函手の双随伴性を用いて、相対シュール要素 $s(q_c) = |W:W_S|_{q_c}$ を定義する。
• $F_S(c)$ が、シュール要素 $s(q_c)$ がゼロとなる正の超平面の上にのみゼロとなることを示し、これにより台が $s(q_c)$ の非ゼロ性に結びつく。
• 計算代数（CHEVIE）と対称形式の存在の予想を用いて、$G_{34}, E_6, E_7, E_8$ を含む例外型群の $s(q_c)$ を明示的に計算する。
• パrameter錐 $c_{H,\chi} \geq 0$ の正値性を用いて、多項式表現 $\Delta_c(\mathbf{1})$ の射影性を解析し、$W_S$ に関する自明表現の非射影性をシュール要素で検出可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのパrameter $c$ に対して球的表現 $L_c(\mathbf{1})$ が有限次元となり、その特徴付けはすべての複素反射群に一様に可能か？
• RQ2 $L_c(\mathbf{1})$ の台は、Dunkl作用素の共通固有関数、特に $W$-指数関数 $e(x,\lambda,c)$ とどのように関係しているか？
• RQ3 シュール要素が $L_c(\mathbf{1})$ の台を検出する際に果たす正確な役割は何か？ また、モジュラー表現理論における射影性の古典的基準をどのように一般化するか？
• RQ4 $L_c(\mathbf{1})$ の台は、相対シュール要素 $|W:W_S|_{q_c}$ を用いて、すべての複素反射群に一様に記述可能か？
• RQ5 シュール要素 $|W:W_S|_{q_c}$ が、正の超平面 $C$ 全体でゼロとなる割合はどの程度で、その結果として台構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• $L_c(\mathbf{1})$ の台は、$V$ 内の $W$-軌道のストラトムの閉包である。ストラトムは、同型な安定化部分群 $W_p = W_q$ を持つ点の集合として定義される。
• ストラトム $S$ が $L_c(\mathbf{1})$ の台に含まれるための必要十分条件は、正規化された $W$-指数関数 $F_S(c)$ が非ゼロであることである。
• シュール要素 $s(q_c) = |W:W_S|_{q_c}$ は、$F_S(c)$ がゼロとなる正の超平面にちょうど一致してゼロとなり、したがって台の境界を検出する。
• すべての複素反射群、特に例外型 $G_{34}, E_6, E_7, E_8$ に対して、シュール要素が明示的に計算され、cyclotomic多項式 $\Phi_n(x_1)$ の積として表され、$|W:W_S|_{q_c}$ は $q_c$ のローレンツ多項式として表現される。
• $L_c(\mathbf{1})$ が有限次元であるのは、$s(q_c)$ がゼロとなるすべての正の超平面を避ける場合に限る。これは、実反射群や $G(r,1,n)$ に対する既存の結果を一般化する。
• 結果は、すべての複素反射群に対して対称形式が存在するとする予想と整合しており、CHEVIE を用いたシュール要素の明示的計算を可能にする。