[論文レビュー] $W^{m,p}$-Solution ($p\geq2$) of Linear Degenerate Backward Stochastic Partial Differential Equations in the Whole Space

Kai Du, Shanjian Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上の線形退化後向き確率偏微分方程式（BSPDE）に対して、$p \geq 2$ および $m \geq 1$ の $W^{m,p}$-解の存在および一意性を確立する。Ma と Yong が以前に要求していた拡散係数 $\sigma$ の対称性条件は不要である。主な貢献は、重み付き $L^p$-ノルムと確率積分法を用いた新規な事前推定技術であり、一般の退化係数に対するソボレフ空間内での正則性結果を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we consider the backward Cauchy problem of linear degenerate stochastic partial differential equations. We obtain the existence and uniqueness results in Sobolev space $L^p(Ω; C([0,T];W^{m,p}))$ with both $m\geq 1$ and $p\geq 2$ being arbitrary, without imposing the symmetry condition for the coefficient $σ$ of the gradient of the second unknown---which was introduced by Ma and Yong [Prob. Theor. Relat. Fields 113 (1999)] in the case of $p=2$. To illustrate the application, we give a maximum principle for optimal control of degenerate stochastic partial differential equations.

研究の動機と目的

• 以前 $W^{m,2}$-正則性に要請されていた $\sigma$ の対称性条件なしに、退化後向き確率PDEを解くという未解決問題に取り組む。
• $\mathbb{R}^d$ 全体で $p \geq 2$ および任意の $m \geq 1$ の $W^{m,p}$-空間へのBSPDEの正則性理論を拡張する。
• 超放物型条件の仮定を排除し、BSPDEフレームワーク内で退化係数を許容する。
• 得られた正則性結果を基に、退化SPDEの最適制御に対する最大原理を導出する。

提案手法

• 切断技術と滑らかな近似列 $\Psi_M$ および $G_{N,p}$ を用いて、重み付き $L^p$-ノルムにおける事前推定を導出する。
• 関数 $G_{N,p}(\Psi_M)$ に伊藤の公式を適用する。ここで $\Psi_M$ は解の空間微分の $L^p$-ノルムの切断版である。
• BDG不等式と確率積分法を用いて、伊藤の公式適用に伴い生じるマルティンゲール項を制御する。
• $\sigma$ に对称性条件を課さず、代わりに $\sigma$ 及びその微分を含む非線形項の精密な推定に依存する。
• $M \to \infty$ および $N \to \infty$ の極限操作により、近似解から実際の解への移行を $W^{m,p}$-空間内で行う。
• グロワールド型の議論と終端データおよび駆動項の $L^p$-有界性を用いて、鍵となる推定式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化BSPDEに対して、$\sigma$ の対称性条件なしに $W^{m,p}$-解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 $p \geq 2$ および $m \geq 1$ の場合に、線形退化BSPDEの解が達成可能な $L^p$-正則性は何か？
• RQ3 退化係数の場合に、$L^2$-枠組みを超えて高階ソボレフ空間への解理論をどのように拡張できるか？
• RQ4 解理論から、退化SPDEの最適制御に対する最大原理を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、$p \geq 2$ および $m \geq 1$ の下で、拡散係数 $\sigma$ に対して一般の退化条件が成立する場合に、空間 $L^p(\Omega; C([0,T]; W^{m,p}(\mathbb{R}^d)))$ 内での解の存在および一意性を証明する。
• 解は次の形の事前 $L^p$-推定を満たす：$\mathbb{E} \sup_{t \leq T} \|u(t)\|_{m,p}^p \leq C e^{Cp} \left( \mathbb{E} \|\varphi\|_{m,2p}^{2p} + \mathbb{E} \int_0^T \|f\|_{m,2p}^{2p} ds \right)$、ここで $C$ は $p$ に依存しない。
• Ma と Yong が $p=2$ の場合に要求していた $\sigma$ の対称性条件が排除され、理論の適用範囲が著しく拡大される。
• 次元 $d$ に制限を設けず、$\sigma$ が定数であるか $x$ に関して不変である必要もない。
• この結果により、随伴BSPDEフレームワークを介して、退化SPDEの最適制御に対する最大原理が得られる。
• 証明は、重み付きノルムと切断を用いた新規な $L^p$-推定技術に依存し、確率的フロー法や対称性に依存しない。