[論文レビュー] W_{N+1}-constraints for singularities of type A_N

Bojko Bakalov, Todor Milanov|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、円周上の微分作用素のリー代数の中心指数 $ h = N+1 $ を持つ射影的表現を構成することにより、$ A_N $-特異点の全下降汎関数が $ \mathcal{W}_{N+1} $-制約を満たすことを確立する。ピカール–レフシェッツ周期とギヴェンタルのシンプレクティックループ空間形式論を用いて、汎関数が $ \mathcal{W}_{N+1} $ 代数の最高重層ベクトルであることを証明し、$ h $-スピン曲線のモジュライ空間上の交差数の完全な再帰関係を提供する。

ABSTRACT

Using Picard--Lefschetz periods for the singularity of type $A_N$, we construct a projective representation of the Lie algebra of differential operators on the circle with central charge $h:=N+1$. We prove that the total descendant potential $\D_{A_N}$ of $A_N$-singularity is a highest weight vector. It is known that $\D_{A_N}$ can be interpreted as a generating function of a certain class of intersection numbers on the moduli space of $h$-spin curves. In this settings our constraints provide a complete set of recursion relations between the intersection numbers. Our methods are based entirely on the symplectic loop space formalism of A. Givental and therefore they can be applied to the mirror models of symplectic manifolds.

研究の動機と目的

• $ A_N $-特異点の全下降汎関数 $ \mathcal{D}_{A_N} $ がバーラソ・代数を超える制約を満たすかどうかを特定すること。
• ウィッテン–コンツェビッチの $ \tau $-関数に対する既知のバーラソ制約を、$ A_N $-特異点の文脈においてより大きな代数的構造へと拡張すること。
• 中心指数 $ h = N+1 $ を持つ円周上の微分作用素のリー代数の射影的表現を用いて、$ \mathcal{D}_{A_N} $ が $ \mathcal{W}_{N+1} $ 代数の最高重層ベクトルであることを確立すること。
• モジュライ空間上の $ h $-スピン曲線における交差数の間の完全な再帰関係を、$ \mathcal{W}_{N+1} $-制約を用いて提供すること。

提案手法

• 中心指数 $ h = N+1 $ を持つ円周上の微分作用素のリー代数の射影的表現を、$ A_N $-特異点のピカール–レフシェッツ周期を用いて構成する。
• ギヴェンタルのシンプレクティックループ空間形式論を適用して、全下降汎関数 $ \mathcal{D}_{A_N} $ を $ h $-スピン曲線のモジュライ空間上の交差数の母関数として分析する。
• 祖先汎関数の理論とモノドロミー不変サイクルを用いて、汎関数の正則性およびその対数係数の正則性を分析する。
• ストークスの定理と特異点の周囲の線積分を用いて、特定の積分が単価値であり定数であることを示し、これにより制約の導出を可能にする。
• $ h $-KdV階層のストリング方程式を満たす解の一意性に依拠し、$ \mathcal{D}_{A_N} $ が $ \mathcal{W}_h $ の最高重層ベクトルであることが示され、$ h = N+1 $ である。
• $ A_1 $-特異点の祖先汎関数に対する $ \mathcal{W}_{A_1} $-制約が、モノドロミーおよびサイクル不変性の議論により、$ A_N $-特異点に対する $ \mathcal{W}_{A_N} $-制約を示唆することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ A_N $-特異点の全下降汎関数 $ \mathcal{D}_{A_N} $ がバーラソ代数を超える制約を満たすことが示せるか？
• RQ2 $ 円周上の微分作用素のリー代数の適切な表現のもとで、$ \mathcal{D}_{A_N} $ が $ \mathcal{W}_{N+1} $ 代数の最高重層ベクトルであるか？
• RQ3 $ \mathcal{W}_{N+1} $-制約が、$ h = N+1 $ の $ h $-スピン曲線のモジュライ空間上の交差数の完全な再帰関係を提供するか？
• RQ4 ギヴェンタルのシンプレクティックループ空間形式論は、$ A_N $-特異点における $ \mathcal{W}_{N+1} $-制約の導出をどのように可能にするか？

主な発見

• $ A_N $-特異点の全下降汎関数 $ \mathcal{D}_{A_N} $ は、中心指数 $ h = N+1 $ を持つ円周上の微分作用素のリー代数の射影的表現を用いて、$ \mathcal{W}_{N+1} $ 代数の最高重層ベクトルであることが確立された。
• $ \mathcal{W}_{N+1} $-制約は、$ h = N+1 $ の $ h $-スピン曲線のモジュライ空間上の交差数の間の完全な再帰関係を提供する。
• 証明は、モノドロミー不変性と線積分を用いた正則性に依拠しており、特にストークスの定理を用いて特定の積分が定数であることを示すことで、汎関数の正則性を示している。
• $ A_1 $-特異点の祖先汎関数に対する $ \mathcal{W}_{A_1} $-制約が、サイクル不変性およびモノドロミーの議論により、$ A_N $-特異点に対する $ \mathcal{W}_{A_N} $-制約を示唆することが可能である。
• 著者らは、$ \mathcal{W}_{\alpha,\beta} $ 形式の線積分を用いて、特異点近傍における汎関数の対数係数が単価値であることを示し、モノドロミーに起因する変化が消えることを示した。
• 主要な技術的ステップは、特定のループ $ \gamma $ に対して $ \oint_\gamma \mathcal{W}_{a,a} = 0 $ を示すことである。これは、サイクル $ a $ が $ \gamma $ に対して不変であることと、補題 4.8 からの帰結である。これにより、汎関数の正則性が保証される。