[論文レビュー] W-Types with Reductions and the Small Object Argument

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、還元を伴うW型——従来の依存W型の一般化——を、点付き多項式自己関手の初期代数として導入する。WISCを満たすΠW-前トポスにおいてそれらの存在を示し、特に実現可能性トポスやグロテンディークトポスにおいて、非可算極限を必要としない小対象法を用いた代数的弱因子分解系（awfs）の新たな構成が可能になる。

ABSTRACT

We define a simple kind of higher inductive type generalising dependent $W$-types, which we refer to as $W$-types with reductions. Just as dependent $W$-types can be characterised as initial algebras of certain endofunctors (referred to as polynomial endofunctors), we will define our generalisation as initial algebras of certain pointed endofunctors, which we will refer to as pointed polynomial endofunctors. We will show that $W$-types with reductions exist in all $ΠW$-pretoposes that satisfy a weak choice axiom, known as weakly initial set of covers (WISC). This includes all Grothendieck toposes and realizability toposes as long as WISC holds in the background universe. We will show that a large class of $W$-types with reductions in internal presheaf categories can be constructed without using WISC. We will show that $W$-types with reductions suffice to construct some interesting examples of algebraic weak factorisation systems (awfs's). Specifically, we will see how to construct awfs's that are cofibrantly generated with respect to a codomain fibration, as defined in a previous paper by the author.

研究の動機と目的

• 特定のコンストラクタとその引数を同定する還元を伴うW型を導入し、依存W型を一般化すること。
• 実現可能性トポスやグロテンディークトポスを含む、WISCを満たすΠW-前トポスにおいて、これらの型の存在を確立すること。
• 小対象法を用いて、特に余域ファイブレーション上でのコヒーレントに生成されたawfsへの応用を実施すること。
• 還元を伴うW型が、非可算極限に基づく高次ヒンディクティブ型の構成とは対照的に、予言的で拡張的である代替手段を提供すること。
• ホモトピー型理論の意味論、特にカンフィリング作用素とファイブレーションの置換への応用を検討すること。

提案手法

• 還元を伴うW型を、点付き多項式自己関手の初期代数として定義し、標準的なW型を一般化する。
• 局所的にカルテジアンな閉じた圏の内部型理論を用いて、これらの型の構造と意味論を議論する。
• WISCを満たすΠW-前トポスにおいて、点付き自己関手に適応した小対象法を用いて存在を証明する。
• WISCを満たさない内部プレシェーブ・カテゴリにおいて、ベースカテゴリの構造を用いて例を構成する。
• 初期代数を余域ファイブレーションを通じてコヒーレントに生成されたawfsと関連づけ、このようなawfsが還元を伴うW型から生じることを示す。
• 還元写像がコーブラクションである「コーブラント」な多項式に焦点を当てる。なぜなら、それらが主要な型理論的構成に十分であるからである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実現可能性トポスなど、非可算極限を必要としない predicative なトポスにおいて、還元を伴うW型は構成可能か？
• RQ2 ΠW-前トポスにおいて還元を伴うW型の存在に、弱選択公理 WISC が必要か？
• RQ3 還元を伴うW型を用いて、余域ファイブレーション上にコヒーレントに生成された代数的弱因子分解系（awfs）を構成可能か？
• RQ4 コーブラントな還元を伴うW型は、n-切断、集合商、球面といった高次ヒンディクティブ型をCwF内で解釈するために十分か？
• RQ5 還元を伴うW型を用いて構成されたawfsは、実現可能性トポスにおいて完全な代数的モデル構造の一部となるか？

主な発見

• WISCを満たすすべてのΠW-前トポスにおいて、還元を伴うW型が存在する。これはグロテンディークトポスや実現可能性トポスを含む。
• 内部プレシェーブカテゴリにおける還元を伴うW型の広いクラスは、WISCを満たさなくても、内部論理とベースカテゴリの構造のみを用いて構成可能である。
• 小対象法は、点付き多項式自己関手の初期代数を構成するものとして再解釈可能であり、それらはまさに還元を伴うW型である。
• 還元写像がコーブラクションである「コーブラント」な還元を伴うW型は、型理論におけるカンフィリング作用素を解釈するawfsを構成するために十分である。
• この構成は、非可算極限を必要としない予言的で拡張的な代替手段を提供し、無限極限を備えないトポスに対しても適用可能である。
• 予想では、このようなawfsは有効トポス、立方体アセンブリ、クレイン＝ヴェスレー・トポスにおいて代数的モデル構造の一部を形成する可能性があり、ストロームのモデル構造など既知のモデル構造を拡張する。