[論文レビュー] Wadge-like degrees of Borel bqo-valued functions

Takayuki Kihara, Victor Selivanov|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、better quasiorder (bqo) への値をとる Borel 関数へと Wadge 可縮性を一般化し、古典的 Wadge 理論の二つの拡張を統一する：より複雑な関数（連続関数を超えるもの）による可縮性と、{0,1}-値関数から Q-値関数への拡張。主な結果として、Δ₀^α-次数の Δ₀^{α+γ}-可測 Q-値関数と、γ 回反復した Q-ラベル付き森における一般化されたホモモーフィズム順序との間に同型が確立され、複雑さのレベルを越えて構造的不変性が明らかになる。

ABSTRACT

We unite two well known generalisations of the Wadge theory. The first one considers more general reducing functions than the continuous functions in the classical case, and the second one extends Wadge reducibility from sets (i.e., $\{0,1\}$-valued functions) to $Q$-valued functions, for a better quasiorder $Q$. In this article, we consider more general reducibilities on the $Q$-valued functions and generalise some results of L. Motto Ros in the first direction and of T. Kihara and A. Montalbán in the second direction: Our main result states that the structure of the $\mathbfΔ^0_α$-degrees of $\mathbfΔ^0_{α+γ}$-measurable $Q$-valued functions is isomorphic to the $\mathbfΔ^0_β$-degrees of $\mathbfΔ^0_{β+γ}$-measurable $Q$-valued functions, and these are isomorphic to the generalized homomorphism order on the $γ$-th iterated $Q$-labeled forests.

研究の動機と目的

• Wadge 理論の二大拡張を統一すること：より複雑な関数（例：Δ₀^α-写像）を用いた可縮性と、{0,1}-値集合から bqo Q への値をとる関数への拡張。
• bqo Q に対して、Δ₀^{α+γ}-可測 Q-値関数の Δ₀^α-次数の構造を同定すること。
• これらの次数と、γ 回反復した Q-ラベル付き森における一般化されたホモモーフィズム順序との間の構造的同型を確立すること。
• 特に非 Borel 設定において、古典的な {0,1}-値ケースを超えた隠れた Wadge 次数構造を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• Δ₀^α-可縮性を導入し、Δ₀^α-関数を還元写像として用いることで、Wadge 可縮性の一般化を実現する。
• Q-分割（Q-値関数）を Baire 空間上の Q-値関数として定義し、空間の Q-ラベル付き分割と同一視する。
• 反復 Q-ラベル付き森を構成し、還元構造をモデル化するためのホモモーフィズム準順序 ≤_h を導入する。
• 森上の写像 r_ξ^* および s_ξ^* を定義し、それらがホモモーフィズム順序を保存し、異なる複雑さのレベルを関連付ける。
• 自己準同型および再び写像（μ および r_ξ^* を通じて）を用いて、Borel ヒエラルキーの異なるレベルにおける次数構造の間の同型を確立する。
• 既知の bqo 構造に関する結果（例：van Engelen-Miller-Steel）を応用し、Borel Q-分割の Wadge 次数が bqo をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる α および γ に対して、Δ₀^{α+γ}-可測 Q-値関数の Δ₀^α-次数どうしの関係は何か？
• RQ2 反復ラベル付き森のような組合せ的対象を用いて、Q-値関数の Wadge 次数構造を特徴づけられるか？
• RQ3 固定された γ に対して、α を変化させたとき、Δ₀^α-次数と γ 回反復した Q-ラベル付き森のホモモーフィズム順序との間に一様な同型が存在するか？
• RQ4 Q が better quasiorder であるとき、{0,1}-値関数に対する古典的 Wadge 理論を Q-値関数へとどの程度一般化できるか？
• RQ5 bqo-値関数の文脈において、Borel ヒエラルキーの異なるレベルにわたっても保持される構造的不変量は何か？

主な発見

• 任意の α, β < ω₁ に対して、Δ₀^{α+γ}-可測 Q-値関数の Δ₀^α-次数の構造は、Δ₀^{β+γ}-可測 Q-値関数の Δ₀^β-次数の構造と同型である。
• これらの次数構造は、γ 回反復した Q-ラベル付き森における一般化されたホモモーフィズム順序と同型である。
• 同型は、Borel ヒエラルキーの各レベルで Wadge 次数構造を保存するリトラクション対 (s_ξ^*, r_ξ^*) によって誘導される。
• 写像 r_ξ^* は森構造上の自己準同型であり、それによって誘導される Wadge 何度への写像はリトラクションとなり、セクション-リトラクション対を形成する。
• この結果により、γ が固定されているとき、複雑さのレベル α が次数の内在的構造に影響しないことが示され、Borel ヒエラルキー全体にわたる深い不変性が明らかになる。
• この枠組みにより、決定性などの集合論的仮定の下で、非 Borel Wadge 何度を、組合せ的森構造に還元することで分析するための新しい道具が得られる。