[論文レビュー] WAFOM on abelian groups for quasi-Monte Carlo point sets

Kosuke Suzuki|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Walsh図形的優位性（WAFOM）とDick重みを、二進デジタルネットから任意の有限アーベル群へ一般化し、巡回群の場合にKoksma-Hlawka型不等式を確立し、重み母数多項式に対するMacWilliams型恒等式を導出する。$ (\log N)/s $ が十分に大きいとき、WAFOMの下界と上界をそれぞれ $ N^{-C'_G (\log N)/s} $ および $ N^{-C_G (\log N)/s} $ のオーダーで示し、$ \mathbb{F}_2 $ における既存の結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we study quasi-Monte Carlo (QMC) rules for numerical integration. J. Dick proved a Koksma-Hlawka type inequality for $α$-smooth integrands and gave an explicit construction of QMC rules achieving the optimal rate of convergence in that function class. From this inequality, Matsumoto et al. introduced Walsh figure of merit (WAFOM) $\mathrm{WAFOM}(P)$ for an $\mathbb{F}_2$-digital net $P$ as a quickly computable quality criterion for $P$ as a QMC point set. The key ingredient for obtaining WAFOM is the Dick weight, a generalization of the Hamming weight and the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman (NRT) weight. We extend the notions of the Dick weight and WAFOM for digital nets over a general finite abelian group $G$, and show that this version of WAFOM satisfies Koksma-Hlawka type inequality when $G$ is cyclic. We give a MacWilliams-type identity on the weight enumerator polynomials for the Dick weight, by which we can compute the minimum Dick weight as well as WAFOM. We give a lower bound of WAFOM of order $N^{-C'_G(\log N)/s}$ and an upper bound of lowest WAFOM of order $N^{-C_G(\log N)/s}$ for given $(G,N,s)$ if $(\log N)/s$ is sufficiently large, where $N$ is the cardinality of the point set $P$, $P$ is a quadrature rule in $[0,1)^s$, and $C'_G$ and $C_G$ are constants depending only on the cardinality of $G$. These bounds generalize the bounds given by Yoshiki and others given for $G=\mathbb{F}_2$.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群への$ \mathbb{F}_2 $-デジタルネットからのDick重みおよびWAFOMの概念の拡張。
• 群が巡回群である場合に、一般化されたWAFOMを用いた準モンテカルロ積分のKoksma-Hlawka型不等式の確立。
• 最小Dick重みおよびWAFOMの効率的計算を可能にする、Dick重みのMacWilliams型恒等式の導出。
• サイズ$ N $の点集合が$ s $次元に存在する場合の、最小WAFOMの非漸近的境界の提供。境界は$ N $, $ s $, 群のサイズ$ b = |G| $ に依存する。
• $ \mathbb{F}_2 $ に基づく既存のWAFOMの境界を、任意の有限アーベル群へ一般化すること。

提案手法

• 有限アーベル群$ G $ に対して、$ G^{s \times n} $ の部分群におけるDick重み$ \mu $ を定義し、$ \mathbb{F}_2 $-ケースを一般化する。
• G-デジタルネットの品質基準として、Walsh図形的優位性（WAFOM）$ \mathrm{WF}^n(P) $ を導入する。
• Dick重みの重み母数多項式に対するMacWilliams型恒等式を証明し、最小Dick重みおよびWAFOMの計算を可能にする。
• 群$ G $ が巡回群である場合に、$ \alpha $-滑らかでない被積分関数に対してKoksma-Hlawka型不等式を確立し、誤差境界をWAFOMと関連付ける。
• 十分に大きな$ (\log N)/s $ に対して、WAFOMの下界として$ N^{-C'_G \log N / s} $ および最小WAFOMの上界として$ N^{-C_G \log N / s} $ のオーダーを導出する。
• 部分群の双対性および$ P^\perp $ を用いた数え上げ的議論により、最小Dick重み$ \delta_{P^\perp} $ を評価し、WAFOMの境界に導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dick重みおよびWAFOMは、$ \mathbb{F}_2 $-デジタルネットから一般の有限アーベル群へ意味的に拡張可能か？
• RQ2 群$ G $ が巡回群である場合、一般化されたWAFOMは$ \alpha $-滑らかでない被積分関数に対してKoksma-Hlawka型不等式を満たすか？
• RQ3 有限アーベル群上でのDick重みに対してMacWilliams型恒等式を確立できるか？ これにより最小Dick重みおよびWAFOMの効率的計算が可能になるか？
• RQ4 サイズ$ N $、$ s $次元の$ G $-デジタルネットに対する最小WAFOMのオーダーの境界は何か？
• RQ5 $ \mathbb{F}_2 $-ベースの構成に対する既知のWAFOMの境界は、どのように任意の有限アーベル群へ一般化されるか？

主な発見

• 一般化されたWAFOMは、基になる群$ G $ が巡回群である場合、$ \alpha $-滑らかでない被積分関数に対してKoksma-Hlawka型不等式を満たす。
• Dick重みに対してMacWilliams型恒等式が確立され、最小Dick重みおよびWAFOMの計算が重み母数多項式を用いて可能になる。
• 最小WAFOMの下界として、$ \mathrm{WF}^n(P) \geq b^{-C'_G d^2 / s} $ が導出され、ここで$ C'_G $ は$ |G| $ のみに依存する。$ d/s $ が十分に大きいとき成立。
• 最小WAFOMの上界として、$ \mathrm{WF}^n(P) \leq \left(1 + \frac{1+c}{c} \frac{1}{\log b}\right) b^{-D^2 d^2 / ((b-1)s)} e^{2Dd} $ が導出され、定数は$ b $ のみに依存する。
• $ N = b^d $ とおくことで、境界を$ N $ で表すと、$ N^{-C'_G \log N / s} \leq \min \mathrm{WF}^n(P) \leq \text{const} \cdot N^{-D^2 \log N / ((\log b)(b-1)s) + 2D / \log b} $ となる。
• これらの境界は、Yoshikiらの既知の$ \mathbb{F}_2 $-ベースの境界を一般化し、任意の有限アーベル群へ拡張する。