[論文レビュー] Waiting time asymptotics in the single server queue with service in random order

Onno Boxma, Sergey Foss+2 more|Data Archiving and Networked Services (DANS)|Jul 18, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、サービス時間分布が重い尾を持つ場合の、サービス順序がランダム（ROS）の単一サーバー待ち行列における待機時間の尾尾漸近的性質を分析する。ポアソン到着および指数 $-\nu$ の正規化された変動サービス時間を持つ場合、待機時間分布も指数 $1-\nu$ の正規化された変動を示し、漸近的表現における前因子を明示的に導出することで、分散が無限大である $M/G/1$ 待ち行列に対する正確な重交通極限定理を提供する。

ABSTRACT

We consider the single server queue with service in random order. For a large class of heavy-tailed service time distributions, we determine the asymptotic behavior of the waiting time distribution. For the special case of Poisson arrivals and regularly varying service time distribution with index -ν, it is shown that the waiting time distribution is also regularly varying, with index 1 -ν, and the pre-factor is determined explicitly. Another contribution of the paper is the heavy-traffic analysis of the waiting time distribution in the M/G/1 case. We consider not only the case of finite service time variance, but also the case of regularly varying service time distribution with infinite variance.

研究の動機と目的

• 重い尾を持つサービス時間分布の下で、サービス順序がランダム（ROS）の単一サーバー待ち行列における待機時間分布の漸近的性質を特定すること。
• 分散が無限大である $M/G/1$ 待ち行列に対して、重交通極限定理を拡張すること。
• サービス時間が指数 $-\nu$ の正規化された変動を示す場合の待機時間の正確な尾尾漸近的性質を確立すること。
• ROS待ち行列における極めて長い待機時間の主な確率的寄与要因を解釈すること。
• ROS方式下で、待機時間分布の尾尾性質がサービス時間分布の正規化された変動性質を引き継ぐことを示すこと。

提案手法

• 大きな値 $x$ を超える待機時間の分解を、確率的に解釈可能な4つの項に分け、それぞれが異なるレアイベント状況に対応する。
• 部分的指数的および長尾分布の理論を用いて、尾尾に寄与する主要要因を特定し、1つの大きなサービス時間または残存サービス時間が支配的であることを同定する。
• 正規化された変動分布のラプラス＝ステルジース変換に関するビンギンとドニーの強力な補題を用い、レ・ギャルの待機時間LST表現から漸近的待機時間尾尾を導出する。
• 「代表的イベント定理」に基づく確率的議論を用いて、大きなサービス時間または多数の顧客を含むレアイベントとの関連で漸近的挙動を解釈する。
• 尾尾漸近的性質に関して、到着過程を同じ到着レートを持つ確定的過程に置き換えられることを示す還元補題（補題D.1）を適用し、$D/G/1$に類似したシステムへの解析を簡略化する。
• 顧客インデックスの和に関する詳細な漸近的解析を実施し、一様収束性と積分近似を用いて最終的な尾尾表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サービス時間が正規化された変動を示し、分散が無限大である場合に、サービス順序がランダム（ROS）の $M/G/1$ 待ち行列における待機時間分布の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 ROS待ち行列における待機時間分布の尾尾は、サービス時間分布の尾尾とどのように関係しているか？
• RQ3 重い尾を持つサービス時間の下で、ROS待ち行列における極めて長い待機時間の主な確率的メカニズムは何か？
• RQ4 待機時間分布の尾尾漸近的性質に影響を与えないように、到着過程を確定的過程に置き換えられるか？
• RQ5 サービス時間が指数 $-\nu$ の正規化された変動を示す場合、待機時間尾尾の漸近的表現における正確な前因子は何か？

主な発見

• ポアソン到着および指数 $-\nu$ の正規化された変動サービス時間分布を持つ場合、待機時間分布も指数 $1-\nu$ の正規化された変動を示す。
• 待機時間尾尾の漸近的表現における前因子は、$\frac{\rho}{1-\rho}h(\rho)$ として明示的に決定され、ここで $h(\rho)$ は交通強度 $\rho$ の関数である。
• 待機時間尾尾の漸近的挙動は、残存サービス時間が $x$ を超えるという事象によって支配され、この寄与は $\rho \cdot \mathsf{P}(B^{fw} > x)$ に相当する。
• 本稿は、分散が無限大である $M/G/1$ 待ち行列に対しても、重交通極限定理を確立する。
• 尾尾漸近的性質は、2つの独立した手法を用いて導出された：1つはラプラス＝ステルジース変換の分析、もう1つは待機時間尾尾の直接的確率的分解。
• 解析により、待機時間尾尾がサービス時間分布の正規化された変動性質を引き継ぐことが確認され、交通強度 $\rho$ に依存する正確なスケーリング係数が得られた。