[論文レビュー] Wald tests when restrictions are locally singular

Jean‐Marie Dufour, Éric Renault+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Game Theory and Voting Systems参考文献 61被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形制約が局所的に特異である場合、つまりヤコビ行列が漸近的にランクを失う場合の Wald 検定に対する非標準的な漸近理論を開発する。標準的なカイ二乗分布の臨界値がサイズの歪みにより不適切になる可能性があることを示し、ランクを保つ共分散推定と一般化逆行列を用いた解決策を提案することで、自由度を減じた有効なカイ二乗分布が得られることを示す。

ABSTRACT

Wald-type tests are convenient because they allow one to test a wide array of linear and nonlinear restrictions from a single unrestricted estimator; we focus on the problem of implementing Wald-type tests for nonlinear restrictions. We provide examples showing that Wald statistics in non-regular cases can have several asymptotic distributions; the usual critical values based on a chi-square distribution can both lead to under-rejections and over-rejections; indeed, the Wald statistic may diverge under the null hypothesis. We study the asymptotic distribution of Wald-type statistics for the class of polynomial restrictions and show that the Wald statistic either has a non-degenerate asymptotic distribution, or diverges to infinity. We provide conditions for convergence and a general characterization of this distribution. We provide bounds on the asymptotic distribution (when it exists). In several cases of interest, this bound yields an easily available conservative critical value. We propose an adaptive consistent strategy for determining whether the asymptotic distribution exists and which form it takes.

研究の動機と目的

• 帰無仮説の下でヤコビ行列のランクが漸近的に不足する場合に標準的な Wald 検定が失敗することを解決すること。
• 推定共分散行列が極限では特異だが有限標本では非特異である非正規ケースにおける Wald 検定の漸近的分布を調査すること。
• 固有値の切り捨てに依存する既存の手法とは異なり、検定統計量の任意の修正を避ける解決策を提供すること。
• 局所的特異性の下で Wald 検定統計量の漸近的分布が自由度を減じたカイ二乗分布となることを確立すること。
• 標準的なカイ二乗近似が破綻する条件を導出し、一般化逆行列を用いた一貫性のある代替手法を提案すること。

提案手法

• 特異構造を分離する再パラメータ化を用いて、局所的特異性下での Wald 検定統計量の漸近的分布を導出する。
• 漸近的ランクを保つように一致する一般化逆行列を推定共分散行列に適用する。
• 多項式行列の行列式の連続性を用いて、Wald 検定統計量が自由度を減じたカイ二乗分布に収束することを示す。
• 元の Wald 検定統計量と一般化逆行列および射影行列を含む変換されたバージョンとの漸近的同等性を確立する。
• 多項式推定量およびその同次成分の収束を活用して、極限共分散行列の有効ランクを特定する。
• ノルムの上限と類似行列のスペクトル性質を用いて、帰無仮説下での検定統計量の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰無仮説の下でヤコビ行列のランクが漸近的に不足する場合、Wald 検定統計量の漸近的分布は何か？
• RQ2 このような非正規ケースでは、標準的なカイ二乗臨界値を信頼して使用できるだろうか？それともサイズの歪みを引き起こすか？
• RQ3 固有値の切り捨てや再重み付けを任意に行わずに、Wald 検定をどのように修正すれば有効性を保てるか？
• RQ4 推定共分散行列のランクが漸近的ランクを一貫して推定できない条件は何か？
• RQ5 制約の特異構造を反映した、漸近的分布の一貫性のある推定が可能か？

主な発見

• 制約が局所的に特異である場合、Wald 検定統計量は帰無仮説の下で発散する可能性があり、標準的なカイ二乗臨界値では任意のサイズの歪みが生じる。
• 自由度をそのまま用いた標準的なカイ二乗近似は、制約の関数的形に応じて過剰な棄却と過小な棄却の両方を引き起こす可能性がある。
• Wald 検定統計量の漸近的分布は、制約の数ではなく、極限ヤコビ行列のランクに等しい自由度のカイ二乗分布となる。
• 漸近的ランクを保つ推定共分散行列の一般化逆行列の使用により、自由度を減じた有効なカイ二乗分布が回復される。
• 固有値の切り捨てなど任意の修正を避けることで、パワーの損失や一貫性の欠如を防ぐ。
• 多項式行列の行列式の連続性と同次多項式成分の一貫性のある推定を用いて、局所的特異性下でも有効性を保証する漸近的分布が導出される。