[論文レビュー] Wandering domains arising from Lavaurs maps with Siegel disks

Astorg, Matthieu+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、シエーゲル円板を用いたラバール写像の適応により、吸引固定点に基づく既存の例とは異なり、複素力学系における新しいタイプの放浪領域を構成する。包あふれの収束速度および包あふれ曲線の構成に関する精密な推定を用いて、非自己同型系における捕捉領域の必要十分条件を証明し、多項式スケュー積におけるシエーゲル型力学からの放浪領域の最初の例を確立する。

ABSTRACT

The classification of Fatou components for rational functions was concluded with Sullivan's proof of the No Wandering Domains Theorem in 1985. In 2016 it was shown, in joint work of the first and last author with Buff, Dujardin and Raissy, that wandering domains do exist in higher dimensions. In fact, wandering domains arise even for a seemingly simple class of maps: polynomial skew products. While the construction gives an infinite dimensional class of examples, and has been extended to polynomial automorphisms of C 4 by Hahn and the last author, the currently known wandering domains are essentially unique. Our goal in this paper is to construct a second example, arising from similar techniques , but with distinctly different dynamical behavior. Instead of wandering domains arising from a Lavaurs map with an attracting fixed point, we construct a domain arising from a Lavaurs map with a fixed point of Siegel type. Siegel disks are not robust under perturbations, as opposed to attracting fixed points. We prove a necessary and sufficient condition for the existence of a so-called trapping domain for non-autonomous dynamical systems given by sequences of maps converging parabolically towards a Siegel type limit map. Guaranteeing that this condition is satisfied in our current construction requires a reconsideration of the proof of the original wandering domain, as more precise estimates on the rate of convergence towards the Lavaurs map are required. By adapting ideas introduced recently by Bedford, Smillie and Ueda, and by proving the existence of parabolic curves, with control on their domains of definition, we prove that the convergence rate is parabolic.

研究の動機と目的

• 吸引固定点を超えて、摂動に対して不安定なシエーゲル円板を含む放浪領域の理論を拡張すること。
• 極限写像が吸引固定点ではなくシエーゲル円板を有する場合の放浪領域の構成という課題に取り組むこと。
• 包あふれ収束するシエーゲル型ラバール写像に収束する非自己同型力学系における捕捉領域の存在について、必要十分条件を確立すること。
• ベッドフォード、スミリ、ウエダの技術を適応し、収束速度の制御およびラバール写像への包あふれ挙動の証明を行うこと。

提案手法

• 包あふれ収束するラバール写像（シエーゲル型固定点を有する）に近づく写像列の合成により、非自己同型力学系を構成する。
• 非自己同型系における捕捉領域条件を定式化し、反復写像の漸近的挙動に基づく基準として提示する。
• 包あふれ挙動に注目して、元の放浪領域構成を収束速度のより厳密な推定を用いて再考する。
• ベッドフォード、スミリ、ウエダの最近の技術を応用し、定義域が制御可能な包あふれ曲線の存在を証明する。
• ラバール写像への収束速度が包あふれであることを証明し、これが捕捉機構の成立に不可欠であることを示す。
• 包あふれ曲線の定義域の制御を用いて、極限において捕捉条件が満たされることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限ラバール写像が吸引固定点ではなくシエーゲル円板を有する場合、高次元力学系において放浪領域を構成できるか。
• RQ2 包あふれ収束するシエーゲル型写像に収束する非自己同型系において、捕捉領域の存在に必要な十分条件は何か。
• RQ3 シエーゲル円板の非安定性は、吸引固定点に基づく場合と比較して、放浪領域の構成にどのような影響を及えるか。
• RQ4 捕捉に不可欠な包あふれ挙動を確保するために、ラバール写像への収束速度をどの程度制御できるか。
• RQ5 定義域が十分に制御可能な包あふれ曲線を構成できるか、その制御がこの設定における放浪領域の存在を支えるか。

主な発見

• シエーゲル型固定点を有するラバール写像から生じる、放浪領域の新しい例が構成され、従来の吸引固定点に基づく例とは明確に異なる力学的挙動を示す。
• 包あふれ収束するシエーゲル型極限写像に収束する非自己同型系における捕捉領域の存在について、必要十分条件が確立された。
• ラバール写像への収束速度が包あふれであることが証明され、これが構成における捕捉機構の成立に不可欠であることが示された。
• 定義域が制御可能な包あふれ曲線が存在することが示され、構成に不可欠な精密な推定が可能になった。
• 証明には、元の放浪領域構成の再評価が不可欠であり、シエーゲル型力学における有効性を保証するための収束速度の精密な推定が行われた。
• 本手法により、従来の唯一の構成にとどまらず、放浪領域のクラスが拡張され、力学的挙動の多様性が示された。