[論文レビュー] Wardowski implicit contractions in metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、完備な距離空間におけるWardowski型の暗黙的収縮写像について、固定点定理を確立する。主な結果として、多くのこのような収縮写像がMatkowski型であることを示し、これにより完備性のもとでグローバルに強いPicard作用素が得られる。主な貢献は、暗黙関数 $ F $ に対してやや弱い条件下でも、収縮性が反復列の収束を保証し、固定点が一意に存在することを示したことである。さらに、$ F $ が正則で、$ \varphi $-到達可能である場合には、Hyers-Ulam安定性が成立する。

ABSTRACT

Most of the implicit contractions introduced by Wardowski [Fixed Point Th. Appl., 2012, 2012:94] are Matkowski type contractions.

研究の動機と目的

• Wardowskiの暗黙的収縮原理を、より広いクラスの距離空間収縮写像へと拡張すること。
• Wardowski型の暗黙的収縮写像の多くがMatkowski型であることを示し、既知の固定点定理の適用を可能にすること。
• 固定点の存在および一意性を保証する、暗黙関数 $ F $ に対する最小限の条件を同定すること。
• 固定点がグローバルに吸引的であり、反復列 $ T^n x $ が $ d $-Cauchy（より強い条件下では $ d $-テレスコピック-Cauchy）であることを示すこと。
• Matkowskiの到達可能性（tele-admissibility）のもとで、固定点のHyers-Ulam $ \Phi $-安定性を確立すること。

提案手法

• 関数 $ F $ がWardowski関数であるとき、$ F(d(Tx,Ty), d(x,y)) \leq 0 $ の形をした暗黙的関数的収縮を用いる。
• 関数 $ \varphi $ を $ F $ を用いて定義することで、Wardowski収縮をMatkowski型収縮に還元する。
• $ \varphi $-到達可能性および $ \varphi $-テレスコピック到達可能性を検証し、Matkowskiの固定点定理を適用する。
• $ d $-半Cauchyおよび $ d $-Cauchy列の解析を用いて、反復列 $ T^n x $ の収束を証明する。
• $ \sum d(x_n, x_{n+1}) $ の和が収束することを保証するため、$ F $ の $ k $-正則性を導入し、これにより $ d $-テレスコピック-Cauchy性が得られる。
• $ F(\rho_n) \to -\infty $ である極限挙動を用いて、$ \rho_n = d(x_n, x_{n+1}) \to 0 $ を導出し、半Cauchy収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 暗黙関数 $ F $ にどのような条件を課すと、完備距離空間におけるWardowski収縮が一意固定点を持つのか？
• RQ2 Wardowskiの暗黙的収縮原理は、Matkowskiの固定点定理の枠組みに還元可能か？
• RQ3 $ F $ にどのような追加条件を課すと、反復列 $ (T^n x) $ が $ d $-テレスコピック-Cauchy（すなわち $ \sum d(x_n, x_{n+1}) < \infty $）となるか？
• RQ4 固定点がどのような条件下でHyers-Ulam $ \Phi $-安定性を満たすか、すなわち $ d(x,z) \leq \Phi(d(x,Tx)) $ を満たすか？
• RQ5 $ F $ の正則性は、軌道列の $ d $-テレスコピック-Cauchy性を保証するのに十分か？

主な発見

• ある $ a>0 $ に対して $ T $ が $ (a,F) $-収縮的である場合、$ F $ がWardowski関数であれば、$ T $ はグローバルに強いPicard作用素である。これは、$ \text{Fix}(T) $ が単一元集合であり、すべての $ x \in X $ に対して $ T^n x \to z $ となることを意味する。
• $ a + F(\rho_{n+1}) \leq F(\rho_n) $ という収縮条件から $ F(\rho_n) \to -\infty $ が導かれ、これにより補題2により $ \rho_n = d(x_n, x_{n+1}) \to 0 $ となる。このため、$ d $-半Cauchy性が保証される。
• $ F $ が正則（すなわちある $ k \in (0,1) $ に対して $ k $-正則）であれば、$ \sum d(x_n, x_{n+1}) < \infty $ が成り立ち、$ (x_n) $ は $ d $-テレスコピック-Cauchyかつ $ d $-Cauchyとなる。
• $ \varphi $-テレスコピック到達可能性を満たす関連関数 $ \varphi $ の下で、固定点はHyers-Ulam $ \Phi $-安定性を満たす。すなわち、すべての $ x \in X $ に対して $ d(x,z) \leq \Phi(d(x,Tx)) $ が成り立つ。
• 固定点は一意的であり、作用素は非拡大的（nonexpansive）である：$ d(Tx,Ty) \leq d(x,y) $ であるため、$ d $-連続的である。
• 結果は、先行研究が示唆するように、準順序付き距離空間へも拡張可能であるが、詳細な展開は今後の研究に委ねられている。