[論文レビュー] Warped cones, (non-)rigidity, and piecewise properties, with a joint appendix with Dawid Kielak

Damian Sawicki|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ボックス空間の場合とは異なり、ねじれコーン間の準等長写像が、それらの背後に隠れた群の間の準等長写像を必ずしも誘導するとは限らないことを確立している。本論文は、群不変量（例えば、漸近次元、性質A、粗い埋め込み可能性）をねじれコーン構成によって特徴付けるために、局所的幾何的性質を導入し、群作用に関するねじれコーンの漸近次元が、群の漸近次元と空間の位相次元に依存するべきであることを証明している。

ABSTRACT

We prove that if a quasi-isometry of warped cones is induced by a map between the base spaces of the cones, the actions must be conjugate by this map. The converse is false in general, conjugacy of actions is not sufficient for quasi-isometry of the respective warped cones. For a general quasi-isometry of warped cones, using the asymptotically faithful covering constructed in a previous work with Jianchao Wu, we deduce that the two groups are quasi-isometric after taking Cartesian products with suitable powers of the integers. Secondly, we characterise geometric properties of a group (coarse embeddability into Banach spaces, asymptotic dimension, property A) by properties of the warped cone over an action of this group. These results apply to arbitrary asymptotically faithful coverings, in particular to box spaces. As an application, we calculate the asymptotic dimension of a warped cone, improve bounds by Szabó, Wu, and Zacharias and by Bartels on the amenability dimension of actions of virtually nilpotent groups, and give a partial answer to a question of Willett about dynamic asymptotic dimension. In the appendix, we justify optimality of the aforementioned result on general quasi-isometries by showing that quasi-isometric warped cones need not come from quasi-isometric groups, contrary to the case of box spaces.

研究の動機と目的

• ねじれコーンの準等長写像が、それらの背後にある群および作用の構造的性質をどの程度反映するかを調査すること。
• ねじれコーンの準等長写像が、作用する群の準等長写像、共通部分群、または同型を意味するかという問いに答え、否定的であることを示すこと。
• 幾何的性質（例：漸近次元、性質A、粗い埋め込み可能性）の局所的版を発展・応用し、群不変量とねじれコーンおよびボックス空間の計量的性質を結びつけること。
• 群の漸近次元と空間の位相次元を用いて、ねじれコーンの正確な漸近次元を計算すること。
• ウィレットの動的漸近次元に関する問いに部分的な解決を提供し、特に可解的ネルビッチ群作用のアメニタリティ次元に関する境界を改善すること。

提案手法

• ねじれコーンやボックス空間の計量的不変量を捉えるために、『局所的』幾何的性質（例：局所的性質A、局所的漸近次元）の概念を導入する。
• [SW] における漸近的に忠実な被覆構成を用いて、ねじれコーンの性質と群そのものおよびその作用の性質を関連付ける。
• コンパクトな計量空間、特に多様体やプロファイント完成への作用を用いてねじれコーン構成を適用し、計量的不変量を導出する。
• 中国剰余定理とディオファントス近似技法を用いて、互いに共役でないが準等長写像のねじれコーンをもたらす、非可算無限個の作用を構成する。
• 双リプシッチ同値性と計量スケーリングの議論を用いて、トーラスおよび球面上のねじれ計量を比較し、特定のねじれコーンが互いに準等長であることを確立する。
• 粗い埋め込み可能性および漸近次元理論を含む幾何群論の結果を活用し、定量的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれコーン間の準等長写像は、作用する群間の準等長写像を意味するか？
• RQ2 群の幾何的性質（例：漸近次元、性質A、粗い埋め込み可能性）は、そのねじれコーンの局所的性質を用いて特徴付けられるか？
• RQ3 群作用に関するねじれコーンの正確な漸近次元は何か？ そして、それは群の漸近次元と空間の位相次元とどのように関係するか？
• RQ4 ねじれコーンの準等長写像は、作用する群の共通部分群または同型を意味するか？
• RQ5 作用の動的漸近次元（アメニタリティ次元）は、群の漸近次元と空間の位相次元の観点から境界づけられるか？

主な発見

• ねじれコーンの準等長写像は、作用する群の準等長写像を必ずしも意味しない。自由作用を行う異なるランクの格子がトーラス上に作用する場合でも反例が存在する。
• ねじれコーン ${\mathcal{O}}_{\Gamma}Y$ の漸近次元は、$\operatorname{asdim} \Gamma \times \mathbb{Z}^m$ に等しい。ここで $m$ は $Y$ の位相次元であり、ねじれコーンが有限の漸近次元を持つ場合に限る。
• コンパクトなメトライゼイブル空間に作用する、可解的ネルビッチ群に対しては、$\operatorname{eq-asdim}(\Gamma\curvearrowright Y) \leq \operatorname{asdim} \Gamma + \dim Y$ が成り立ち、既存の境界を改善する。
• 非可算無限個の共役でない $\mathbb{Z}^d$ の作用が、$\mathbb{T}^1$ や $\mathbb{T}^2$ に作用し、それらが準等長写像のねじれコーンをもたらす。これらの中には、任意の半径の球と準等長写像のねじれコーンであるものも含まれる。
• $\mathbb{Z}^d$ の自明な作用に関するねじれコーンは、任意の $d \in \mathbb{N}$ に対して、非自明な $\mathbb{Z}^d$ の作用に関するねじれコーンと準等長写像である。これは非剛性を示している。
• 幾何的性質の局所的版（例：局所的性質A、局所的粗い埋め込み可能性）は、対応する群の性質と同値であり、群不変量を計量幾何学を用いて新たな特徴づけを可能にする。