[論文レビュー] Warped Product Pointwise Bi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds

Bang‐Yen Chen, Siraj Uddin|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ケーラー多様体における歪み付き積点wise二スラント部分多様体を導入し、特徴づけ、従来の歪み付き積スラントおよび二スラント部分多様体の結果を一般化する。主な貢献は、部分多様体が局所的に歪み付き積であるための十分条件を、形状作用素とほぼ複素構造を含むテンソル方程式で表現することであり、CR、半スラント、ヘミスラント部分多様体理論における既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Warped product manifolds have been studied for a long period of time. In contrast, the study of warped product submanifolds from extrinsic point of view was initiated by the first author around the beginning of this century in [7, 8]. Since then the study of warped product submanifolds has been investigated by many geometers. The notion of slant submanifolds of almost Hermitian manifolds was introduced in [5]. Bi-slant submanifolds in almost contact metric manifolds were defined in [4] by J. L. Cabrerizo et al. In [26], we studied bi-slant submanifolds and warped product bi-slant submanifolds in Kaehler manifolds. In this article, we investigate warped product pointwise bi-slant submanifolds of Kaehler manifolds. Our main results extend several important results on warped product slant submanifolds obtained in [7, 21-23, 27].

研究の動機と目的

• ケーラー多様体における点wise二スラント部分多様体への歪み付き積部分多様体理論を拡張すること。
• 点wiseスラント角を組み込むことにより、歪み付き積スラントおよび二スラント部分多様体に関する既存の結果を一般化すること。
• 点wise二スラント部分多様体が歪み付き積構造を有するための十分な幾何的条件を確立すること。
• CR、半スラント、ヘミスラント歪み付き積に関する先行研究を統一的かつ一般化する枠組みを構築すること。
• 例えば、先行研究における重要な方程式に欠落していた項を特定することで、以前の定式化を是正・精錬すること。

提案手法

• 2つの直交する分布と点wiseスラント角θ₁およびθ₂を用いて、点wise二スラント部分多様体の概念を導入する。
• ガウスおよびヴァインガルテンの公式を適用し、リーマン接続と第二基本形式を接空間成分および法成分に分解する。
• 形状作用素A_Nとほぼ複素構造Jを含む重要なテンソル方程式（式4.12）を導出する。この方程式は、∇_X Y の法成分が歪み関数μの勾配と関係していることを示す。
• 分布D₂が積分可能であり、その葉が平均曲率ベクトルH₂ = -∇μをもつ完全平滑であるという条件を適用し、Hiepkoの定理を適用する。
• 導出されたテンソル方程式が成立するならば、Hiepkoの定理を用いて部分多様体が局所的に歪み付き積であると結論づける。
• 既知の事例（CR、半スラント、ヘミスラント、点wiseヘミスラント歪み付き積）に正しく還元されることを示すことにより、一般結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体の点wise二スラント部分多様体がどのような幾何的条件下で局所的に歪み付き積であるか？
• RQ2 歪み付き積構造は、CR、半スラント、ヘミスラント部分多様体理論の既存結果をどのように一般化するか？
• RQ3 歪み付き積構造の条件を第二基本形式とほぼ複素構造のみを用いて表現できるか？
• RQ4 例えば、[23]の定理5.1における誤りや欠落した項（例：1−cos²θ が 1+cos²θ と誤って記載されていたこと）をどのように是正・精錬すべきか？
• RQ5 混合完全測地的条件が、歪み付き積点wise二スラント部分多様体の分類にどのように影響するか？

主な発見

• ケーラー多様体内の点wise二スラント部分多様体Mは、形状作用素と歪み関数の勾配を含むテンソル方程式（4.12）が成立する場合に限り、局所的に歪み付き積である。
• 条件（4.12）は、θ₁ = 0 および θ₂ = π/2 の場合にCR歪み付き積の既知の条件に正しく還元され、[7]の定理4.2を回復する。
• θ₁ = 0 および θ₂ = θ（スラント関数）の場合、この結果は点wise半スラント歪み付き積を一般化し、以前の式で欠落していた項（1−cos²θ が 1+cos²θ と誤記されていた）を是正する。
• θ₁ = θ（定数）および θ₂ = π/2 の場合、この結果はヘミスラント歪み付き積を一般化し、混合完全測地的条件が構造が歪み付き積であるために必要でないことを示す。
• 点wiseヘミスラント部分多様体（θ₁ = π/2, θ₂ = θ）の場合、導出された条件は[27]の定理4.2と一致し、その結果の一般化を確認する。
• 混合完全測地的条件のもとでは、第二基本形式のノルムの二乗を、点wiseスラント部分多様体M_θと完全実部分多様体M_⊥の間のRiemann積またはM_θ ×_f M_⊥という形の歪み付き積として表すことができる。