[論文レビュー] Wasserstein-2 bounds in normal approximation under local dependence

Xiao Fang|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的依存性を持つ確率変数の和に対する正規近似における一般化された Wasserstein-2 距離の上限を、Stein の方法と2階微分可能な関数の漸近展開を用いて確立する。主な結果は、3次および4次モーメントと近隣依存構造を用いた明示的な上限を提供し、m-依存列、U-統計量、Erdős-Rényi 確率グラフにおける部分グラフ数への応用とともに、任意の p に対する p-Wasserstein 上限に関する予想を提示する。

ABSTRACT

We obtain a general bound for the Wasserstein-2 distance in normal approximation for sums of locally dependent random variables. The proof is based on an asymptotic expansion for expectations of second-order differentiable functions of the sum. We apply the main result to obtain Wasserstein-2 bounds in normal approximation for sums of $m$-dependent random variables, U-statistics and subgraph counts in the Erdős-Rényi random graph. We state a conjecture on Wasserstein-$p$ bounds for any positive integer $p$ and provide supporting arguments for the conjecture.

研究の動機と目的

• 局所的依存性を持つ確率変数の和に対する正規近似における一般化された Wasserstein-2 距離の上限を導出すること。
• 既存の Wasserstein-1 および Kolmogorov 距離の上限結果を、局所的依存性の下で Wasserstein-2 度合へ拡張すること。
• 3次および4次モーメント、および近隣依存構造を含む明示的な上限を提供すること。
• 主な結果を m-依存列、U-統計量、Erdős-Rényi 確率グラフにおける部分グラフ数に応用すること。
• 任意の正の整数 p に対して p-Wasserstein 上限に関する予想を提示し、それを裏付けること。

提案手法

• 和 W の2階微分可能な関数の期待値に対する漸近展開を、Stein の方法を用いて導出する。
• Wasserstein-2 距離を制御するために、Zolotarev の2次の理想距離を用いる。
• 三角不等式と i.i.d. 和に関する既知の Wasserstein-2 上限を用いて、W と標準正規分布との距離を上限づける。
• 各 X_i に対して、縮小する近隣領域 A_i, A_ij, A_ijk を用いた3条件 (LD1)–(LD3) を用いて局所的依存性を定義する。
• 4次までのモーメントの積算展開を用いて、漸近展開における誤差項を制御する。
• 高次モーメントの積算展開と Young の不等式を用いた類似の漸近展開により、p-Wasserstein 上限に関する予想を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的依存性を持つ確率変数の和に対する正規近似における最適な Wasserstein-2 距離上限は何か？
• RQ2 Stein の方法と漸近展開は、局所的依存性の下で Wasserstein-2 距離を上限づけるためにどのように適合可能か？
• RQ3 p=2 の場合に用いられたアプローチを、任意の正の整数 p に対して p-Wasserstein 距離の上限を導出するために一般化できるか？
• RQ4 m-依存列、U-統計量、Erdős-Rényi 確率グラフにおける部分グラフ数に対して、明示的なモーメントに基づく Wasserstein-2 距離の上限は何か？
• RQ5 依存構造とモーメントにどのような条件が、正規近似におけるタイトな Wasserstein-2 上限を保証するか？

主な発見

• 本稿は、$\mathcal{W}_2(\mathcal{L}(W), N(0,1)) \leq C[|\beta| + (\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3)^{1/2}]$ の形の Wasserstein-2 上限を確立する。ここで $\beta$ は3次依存性を捉え、$\gamma_i$ は高次モーメント寄与を測る。
• この上限は、m-依存列、U-統計量、Erdős-Rényi 確率グラフにおける部分グラフ数に適用可能であり、依存近隣領域とモーメントに基づいた明示的な収束速度を提供する。
• 証明手法は、Stein の方法と2階微分可能な関数の漸近展開、および Zolotarev の2次理想距離を組み合わせたものである。
• 著者らは、高次モーメントの積算展開と Young の不等式に基づいた類似の漸近展開により、類似の上限が任意の正の整数 p に対して成り立つという予想を裏付ける根拠を提示する。
• 収小する近隣領域 A_i, A_ij, A_ijk を用いた局所的依存構造の導入により、弱い依存性に対しても手法が頑健であることが示された。
• 本結果は、Barbour, Karoński, Ruciński (1989) の既存の Wasserstein-1 上限を一般化し、局所的依存性を持つ非 i.i.d. 状況への正規近似の適用範囲を拡張する。