[論文レビュー] Wasserstein Autoregressive Models for Density Time Series

Chao Zhang, Piotr Kokoszka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、確率分布の空間における Wasserstein 距離の幾何的構造を活用することで、密度時系列のための Wasserstein 自己回帰（WAR）モデルを提案する。最適輸送を介して密度を接空間にマッピングすることにより、輸送写像の自己回帰モデル化が可能となり、非パラメトリックかつ柔軟な将来の密度予測が実現される。金融リターンデータにおいて、複数の指標で既存手法と比較して優れた予測精度を達成した。

ABSTRACT

Data consisting of time-indexed distributions of cross-sectional or intraday returns have been extensively studied in finance, and provide one example in which the data atoms consist of serially dependent probability distributions. Motivated by such data, we propose an autoregressive model for density time series by exploiting the tangent space structure on the space of distributions that is induced by the Wasserstein metric. The densities themselves are not assumed to have any specific parametric form, leading to flexible forecasting of future unobserved densities. The main estimation targets in the order-$p$ Wasserstein autoregressive model are Wasserstein autocorrelations and the vector-valued autoregressive parameter. We propose suitable estimators and establish their asymptotic normality, which is verified in a simulation study. The new order-$p$ Wasserstein autoregressive model leads to a prediction algorithm, which includes a data driven order selection procedure. Its performance is compared to existing prediction procedures via application to four financial return data sets, where a variety of metrics are used to quantify forecasting accuracy. For most metrics, the proposed model outperforms existing methods in two of the data sets, while the best empirical performance in the other two data sets is attained by existing methods based on functional transformations of the densities.

研究の動機と目的

• 確率密度関数の時系列を幾何的かつ非パラメトリックにモデリング・予測する手法の開発を目的とする。
• 分布の非線形空間上での標準的関数データ解析の限界を、Wasserstein 距離の接空間構造を用いることで克服することを目的とする。
• 密度関数のパラメトリックな形を仮定せずに、未観測の将来の密度を柔軟に予測できることを目的とする。
• 提案モデル下での主要推定量（Wasserstein 自己相関およびベクトル値自己回帰パラメータ）の漸近正規性を確立することを目的とする。
• WAR(p) モデルのためのデータ駆動型の次数選択手順を提供し、予測性能を向上させることを目的とする。

提案手法

• Wasserstein 距離を用いて、確率分布の空間にリーマン幾何を定義し、接空間表現の利用を可能にする。
• 各密度は、Wasserstein 平均における接空間への対数写像を介してマッピングされ、非線形な密度空間がヒルベルト空間に変換される。
• 接空間上に p 階自己回帰モデルを定式化し、輸送写像をベクトル自己回帰過程としてモデル化する。
• Wasserstein 自己相関および自己回帰パラメータの推定量を提案し、それらの漸近正規性を示す。
• 所定の指標に基づいて予測性能を最適化するためのデータ駆動型の次数選択手順を開発する。
• 予測された輸送写像を指数写像を用いて密度空間に再投影することで、予測を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein 距離の幾何的構造を活用することで、非パラメトリックな密度時系列に自己回帰モデリングを効果的に拡張できるか？
• RQ2 確率分布の非線形空間上において、定常性および漸近的性質をどのように確立できるか？
• RQ3 WAR(p) モデルの予測性能は、金融リターン密度データにおいて既存手法と比較してどうなるか？
• RQ4 評価に用いる指標（例：KL 散逸、Wasserstein 距離）の選択が、予測精度の評価にどのように影響するか？
• RQ5 データ駆動型の次数選択手順は、WAR(p) モデルの予測精度を向上させることができるか？

主な発見

• WAR(p) モデルは、4 つの金融リターンデータセットのうち 2 つにおいて、KL 散逸、JS 散逸、Wasserstein 距離という複数の指標で、既存手法を上回る優れた予測精度を達成した。
• ダウ・ジョーンズおよびS&P 500 のクロスセクショナルリターンデータセットにおいて、目的関数に KL 散逸を用いた WAR(p) モデルは、Wasserstein 距離指標でもすべての他の手法を上回り、2.59×10⁻² の値を達成した。
• 完全な関数的 WAR(p) モデル（密度関数の関数的形を完全に使用）は、競争力のある性能を示し、ダウ・ジョーンズデータセットでは Wasserstein 距離が 2.61×10⁻² であった。
• Wasserstein 自己相関および自己回帰パラメータの推定量は漸近的に正規分布に従うことが示され、統計的推論フレームワークの妥当性が裏付けられた。
• 2 つのデータセットでは WAR(p) モデルが既存手法を上回ったが、残りの 2 つのデータセットでは関数的変換（例：CoDa）に基づく手法が最良の結果を出した。これは、本モデルの強力ではあるが文脈依存的な性能を示している。
• データ駆動型の次数選択手順は、モデルの複雑さと予測精度のバランスを効果的にとらえ、本モデルの異なる予測目的への適応可能性を示した。