[論文レビュー] Wasserstein Complexity of Quantum Circuits

Lu Li, Kaifeng Bu+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2022

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子 Wasserstein 距離（1 階）（地上移動距離）に基づいて、量子回路の複雑さを測る新しい測度である量子 Wasserstein 複雑さを導入する。この測度は、量子回路の回路コストおよび実験的実装コストの下界を提供することを確立し、量子リソース要件を定量化するための新しい幾何的枠組みを提供するとともに、リソースを計算パワーに変換する際の量子的限界を示す。

ABSTRACT

Given a unitary transformation, what is the size of the smallest quantum circuit that implements it? This quantity, known as the quantum circuit complexity, is a fundamental property of quantum evolutions that has widespread applications in many fields, including quantum computation, quantum field theory, and black hole physics. In this letter, we obtain a new lower bound for the quantum circuit complexity in terms of a novel complexity measure that we propose for quantum circuits, which we call the quantum Wasserstein complexity. Our proposed measure is based on the quantum Wasserstein distance of order one (also called the quantum earth mover's distance), a metric on the space of quantum states. We also prove several fundamental and important properties of our new complexity measure, which stand to be of independent interest. Finally, we show that our new measure also provides a lower bound for the experimental cost of implementing quantum circuits, which implies a quantum limit on converting quantum resources to computational resources. Our results provide novel applications of the quantum Wasserstein distance and pave the way for a deeper understanding of the resources needed to implement a quantum computation.

研究の動機と目的

• 量子最適輸送理論に基づく、量子回路のための新しい複雑さ測度の開発。
• 1 階量子 Wasserstein 距離を用いた、量子回路複雑さの厳密な下界の確立。
• 新測度が実験的量子計算における物理的実装コストとどのように関連するかの接続。
• リーマン幾何学と量子状態の時間発展に基づく、回路リソースを分析する幾何的枠組みの提供。
• 量子 Wasserstein 複雑さが理論的回路コストおよび実験的リソースコストの両方を下界で制御することを示し、物理的リソースを計算パワーに変換する際の根本的量子限界を明らかにすること。

提案手法

• 密度行列の間の 1 階量子 Wasserstein 距離（地上移動距離）に基づく、新しい複雑さ測度 $ C_{W_1}(U) $ の提案。これは、量子回路の時間発展に沿った密度行列間の距離に基づく。
• 離散化された経路積分法を用いて、回路の時間発展をユニタリゲートの系列として近似し、状態の時間発展を密度演算子空間内の曲線としてモデル化する。
• 三角不等式とトレースノルムの境界を用いて、Wasserstein 距離をユニタリ時間発展演算子下での状態の全変動と関連付ける。
• ハミルトニアンの分散を用いた量子速度限界を活用し、状態変化の速度を制御し、コストの下界を導出する。
• 重要な不等式 $ \operatorname{Cost}(U) \geq 4\sqrt{2} C_{W_1}(U) $ を導出。これは、回路コストが Wasserstein 複雑さによって下界で制御されることを示している。
• この下界を実験的コスト $ \mathcal{R}(U) $ に拡張し、$ \mathcal{R}(U) \geq \frac{1}{2} C_{W_1}(U) $ を証明。理論的複雑さと物理的実装エネルギーおよび時間の間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 階量子 Wasserstein 距離は、量子回路の意味的な複雑さ測度を定義するために利用可能か？
• RQ2 提案された量子 Wasserstein 複雑さは、標準的な回路コストおよび実験的実装コストとどのように関係するか？
• RQ3 最適輸送に基づく量子回路複雑さの下界を導く背後にある幾何的および物理的原理は何か？
• RQ4 この新しい複雑さ測度は、物理的リソースを計算パワーに変換する際の根本的量子限界を明らかにできるか？
• RQ5 Wasserstein 複雑さは、もつれパワーまたはマジックといった既存の測度よりも、より鋭いか、より頑健な下界を提供できるか？

主な発見

• 量子回路コスト $ \operatorname{Cost}(U) $ は $ 4\sqrt{2} C_{W_1}(U) $ によって下界で制御され、Wasserstein 複雑さと回路リソースコストとの間の直接的な定量的関係が確立された。
• 量子回路を実装するための実験的コスト $ \mathcal{R}(U) $ は $ \frac{1}{2} C_{W_1}(U) $ によって下界で制御され、物理的実装コストが新測度によって制約されることを示した。
• Wasserstein 複雑さ $ C_{W_1}(U) $ は、回路の時間発展演算子に沿った密度行列間の $ W_1 $-距離を用いて定義され、回路複雑さの幾何的解釈を提供する。
• この下界は純粋状態および混合状態の両方に対して成り立ち、アーキテクチャにアダジャスト可能なアダルトキュービットを含む回路にも拡張可能であり、広範な適用性を持つ。
• 結果として、物理的リソース（例：エネルギー、時間）を計算リソースに変換する際の効率の限界が明らかになった。実験的コストは Wasserstein 複雑さ以下に任意に小さくできない。
• この手法は頑健で一般性が高く、$ n $-キュービット系および $ (n+m) $-クーディット系に適用可能であり、導出された下界は特定のゲート集合や回路分解に依存しない。