[論文レビュー] Wasserstein Distributionally Robust Kalman Filtering

Soroosh Shafieezadeh-Abadeh, Viet Anh Nguyen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 26被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、正規分布の非凸な Wasserstein アンビギティ集合上でロバスト推定問題を解くことにより、モデルリスクに対するヘッジを図る Wasserstein の分布ロバストカルマンフィルタを提案する。非凸性にもかかわらず、問題は扱いやすい凸計画問題に再定式化され、準閉形式の部分問題を有する効率的な Frank-Wolfe アルゴリズムが開発され、その結果、逐次推定設定において標準的および静的ロバスト手法を凌駆するフィルタが得られる。

ABSTRACT

We study a distributionally robust mean square error estimation problem over a nonconvex Wasserstein ambiguity set containing only normal distributions. We show that the optimal estimator and the least favorable distribution form a Nash equilibrium. Despite the non-convex nature of the ambiguity set, we prove that the estimation problem is equivalent to a tractable convex program. We further devise a Frank-Wolfe algorithm for this convex program whose direction-searching subproblem can be solved in a quasi-closed form. Using these ingredients, we introduce a distributionally robust Kalman filter that hedges against model risk.

研究の動機と目的

• 名目状態空間モデルにおける不確実性に起因するモデルリスクを軽減するロバストカルマンフィルタの開発を目的とする。
• 既存のロバストフィルタが過剰に保守的であるか、小さなモデル不確実性下で失敗するという限界を解消することを目的とする。
• Wasserstein 距離を用いて、名目ガウス分布を中心とするより統計的にロバストなアンビギティ集合を定義することを目的とする。
• 非凸な Wasserstein アンビギティ集合にもかかわらず、取り扱いやすい凸計画問題としてロバスト推定問題を定式化することを目的とする。
• オンライン逐次推定に適した、収束性が保証された一次元アルゴリズム（Frank-Wolfe）の設計を目的とする。

提案手法

• 多変量正規分布のみを含む Wasserstein アンビギティ集合上での分布ロバストな平均二乗誤差推定問題を定式化する。
• 最適推定器と最も不利な分布がナッシュ均衡を形成することを証明し、ゲーム理論的解釈を可能にする。
• 分布ロバスト最適化の高度な再定式化技術を用いて、非凸問題を等価な凸計画問題に再定式化する。
• 方向探索部分問題が準閉形式解を有する Frank-Wolfe アルゴリズムを構築し、計算を効率化する。
• アルゴリズムを逐次的に適用してオンラインフィルタリング問題を解き、時間ステップを跨いでロバスト性を維持する。
• タイプ2 Wasserstein 距離を用いてアンビギティ集合を定義し、統計的ロバスト性を確保するとともに、分布シフト下での性能向上を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合状態-出力分布の不確実性を捉える Wasserstein アンビギティ集合を用いた分布ロバストカルマンフィルタを構築可能か？
• RQ2 正規分布の Wasserstein アンビギティ集合の非凸性が、取り扱いやすい解法を妨げるか、それとも凸計画問題に再定式化可能か？
• RQ3 得られるロバスト推定問題を、オンラインで逐次的に解くのに適した方法で効率的に解けるか？
• RQ4 モデル不確実性下において、提案手法の性能は古典的および静的ロバスト手法と比べてどのように異なるか？
• RQ5 提案された Frank-Wolfe アルゴリズムの収束特性および計算効率はいかがなものか？

主な発見

• 非凸な正規分布の Wasserstein アンビギティ集合上での分布ロバスト推定問題は、取り扱いやすい凸計画問題に等価であることが示され、非凸性にもかかわらず効率的な解法が可能になる。
• 最適推定器は観測値のアフィン関数として表現され、古典的カルマンフィルタの構造を保ちつつ、ロバスト性が向上する。
• 凸計画問題に対する Frank-Wolfe アルゴリズムは、曲率定数が $ \frac{2\bar{\sigma}^4}{\underline{\sigma}^3} $ で有界であるため、収束が信頼できる。
• 数値結果から、逐次的ロバストフィルタリング手法が静的推定定式化を上回ることを示し、推定誤差で13 dBの改善が得られた（t=100 時点で24.5 dB 対 37.5 dB）。
• 静的アプローチでは、Wasserstein 半径を最適化してもロバスト化が効果を示さない。t ≥ 5 の段階で最適半径が0に収束するため、不確実性の伝播がグローバルなロバスト性を損なうことが示された。
• 提案手法のフィルタは、時間ステップを跨いで不確実性の伝播を効果的に制限し、各逐次段階でロバスト化が有効に機能することがわかった。