[論文レビュー] Wasserstein Solution Quality and the Quantum Approximate Optimization Algorithm: A Portfolio Optimization Case Study

Jack S. Baker, Santosh Kumar Radha|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、解の品質を評価するためのアプリケーション固有のベンチマークとしての正規化および補完 Wasserstein 距離 (η) を用いて、ポートフォリオ最適化のための量子近似最適化アルゴリズム (QAOA) を評価する。実際の QPU において、n=2 の場合 p=5、n=3 の場合 p=4 で解の品質が最大に達することを示し、微分を必要としない最適化手法が微分を必要とする手法を上回ることを明らかにした。また、測定ショットのノイズを上回る解の品質のばらつきが、重要な性能指標であることを特定した。

ABSTRACT

Optimizing of a portfolio of financial assets is a critical industrial problem which can be approximately solved using algorithms suitable for quantum processing units (QPUs). We benchmark the success of this approach using the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA); an algorithm targeting gate-model QPUs. Our focus is on the quality of solutions achieved as determined by the Normalized and Complementary Wasserstein Distance, $η$, which we present in a manner to expose the QAOA as a transporter of probability. Using $η$ as an application specific benchmark of performance, we measure it on selection of QPUs as a function of QAOA circuit depth $p$. At $n = 2$ (2 qubits) we find peak solution quality at $p=5$ for most systems and for $n = 3$ this peak is at $p=4$ on a trapped ion QPU. Increasing solution quality with $p$ is also observed using variants of the more general Quantum Alternating Operator Ansätz at $p=2$ for $n = 2$ and $3$ which has not been previously reported. In identical measurements, $η$ is observed to be variable at a level exceeding the noise produced from the finite number of shots. This suggests that variability itself should be regarded as a QPU performance benchmark for given applications. While studying the ideal execution of QAOA, we find that $p=1$ solution quality degrades when the portfolio budget $B$ approaches $n/2$ and increases when $B \approx 1$ or $n-1$. This trend directly corresponds to the binomial coefficient $nCB$ and is connected with the recently reported phenomenon of reachability deficits. Derivative-requiring and derivative-free classical optimizers are benchmarked on the basis of the achieved $η$ beyond $p=1$ to find that derivative-free optimizers are generally more effective for the given computational resources, problem sizes and circuit depths.

研究の動機と目的

• 実際の量子プロセッシングユニット (QPUs) における平均・分散ポートフォリオ最適化 (MVPO) の QAOA の性能をベンチマーク化すること。
• QAOA を用いた組合せ最適化における解の品質を評価するための新しいアプリケーション固有の指標として、正規化および補完 Wasserstein 距離 (η) を導入すること。
• 回路深さ (p)、問題サイズ (n)、最適化手法の種類が、シミュレータおよび実際の QPUs における解の品質に与える影響を調査すること。
• 有限の測定ショットによる統計的ノイズを上回る QAOA 性能のばらつきの原因を特定・分析し、ばらつき自体を QPU ベンチマークとして提示すること。
• ハード制約 QAOA を実際の QPUs に初めてデプロイし、異なるハードウェアプラットフォーム間での性能を比較すること。

提案手法

• MVPO を二次無制約バイナリ最適化 (QUBO) 問題として定式化し、QAOA 用のコストハミルトニアンにマッピングする。
• 測定された解の分布と真の最適解の分布との距離を定量化するために、正規化および補完 Wasserstein 距離 (η) を用いる。
• 回路深さ p を 1 から 5 まで変化させ、密な状態ベクトルシミュレータおよび実際のゲートモデル QPU（IBM およびトラップドアイオントラップ QPU を含む）で QAOA を実行する。
• コストハミルトニアン期待値を最小化するための古典的ブラックボックス最適化手法として、微分を必要としない（例：Nelder-Mead、COBYLA）および微分を必要とする（例：BFGS）手法をベンチマーク化する。
• ハード制約とソフト制約の QAOA バリエーションを比較し、前者が最適化のためのより良いランドスケープを提供することを示した。
• NISQ 条件を再現するために有限の測定ショット数を用い、確率的ノイズが最適化手法の性能に与える影響を分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実際の QPU におけるポートフォリオ最適化の QAOA の解の品質は、回路深さ (p) にどのように依存するか。ピーク性能はどの p で達成されるか。
• RQ2 繰り返し最適化における解の品質のばらつきは、有限の測定ショットに起因するノイズをどれほど上回るか。これは QPU ベンチマークにどのような含意をもたらすか。
• RQ3 有限の計算リソース制約下で、QAOA コスト関数を最小化する際、微分を必要としない最適化手法と微分を必要とする手法の性能は、どのように比較されるか。
• RQ4 ポートフォリオ予算 B が n/2 に近づくと QAOA の解の品質が劣化するのはなぜか。これは二項係数 nCB とどのように関連しているか。
• RQ5 Wasserstein 距離指標 (η) は、異なる QPUs や問題インスタンス間で QAOA 性能を評価するための信頼できるアプリケーション固有のベンチマークとして機能できるか。

主な発見

• n=2 の場合、ほとんどの QPU で p=5 の時点で η を用いた解の品質が最大に達する。n=3 の場合、トラップドアイオン QPU では p=4 でピークに達する。
• 通常の QAOA とより一般的な量子交互オペレータアンザッツの両方において、回路深さ p が増加するにつれて解の品質が向上し、n=2 および n=3 で p=2 のとき、以前に報告のなかった改善が確認された。
• 繰り返し最適化における解の品質のばらつきは、有限ショットによる確率的ノイズを上回る。これは、ばらつき自体を QPU 性能の主要なベンチマークとして考慮すべきであることを示唆する。
• 解の品質が最も低くなるのは、ポートフォリオ予算 B が n/2 に近づいたときであり、これは二項係数 nCB の最小値に対応し、到達可能性の欠如と関連している可能性がある。
• 同じ計算リソースと問題サイズの下で、微分を必要としない最適化手法は、微分を必要とする手法よりも一貫して高い η 値を達成した。
• IBM QPU の中では、同じトポロジーを持つにもかかわらず、より低い量子ボリューム (QV) のデバイスが、より高い QV のデバイスを上回って性能を示した。これは、一般的なベンチマーク（例：QV）がアプリケーション固有の性能を予測できないことを示している。