[論文レビュー] Waterfilling Theorems for Linear Time-Varying Channels and Related Nonstationary Sources

Edwin Hammerich|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形時変化（LTV）チャネルおよび非定常源の時間周波数平面におけるウォーターフィリング定理を、LTVフィルタのスプリッド・ウェイリー記号を用いて確立する。チャネル容量は、スプリッド・ウェイリー記号の逆数の二乗絶対値にウォーターフィリングが適用され、非定常源のレート・ディストーション関数は、二乗絶対値に逆ウォーターフィリングが適用され、スプリーディング要因 r が増加する際の漸近的有効性を持つ、新規のツェゴ定理に基づく。

ABSTRACT

The capacity of the linear time-varying (LTV) channel, a continuous-time LTV filter with additive white Gaussian noise, is characterized by waterfilling in the time-frequency plane. Similarly, the rate distortion function for a related nonstationary source is characterized by reverse waterfilling in the time-frequency plane. Constraints on the average energy or on the squared-error distortion, respectively, are used. The source is formed by the white Gaussian noise response of the same LTV filter as before. The proofs of both waterfilling theorems rely on a Szego theorem for a class of operators associated with the filter. A self-contained proof of the Szego theorem is given. The waterfilling theorems compare well with the classical results of Gallager and Berger. In the case of a nonstationary source, it is observed that the part of the classical power spectral density is taken by the Wigner-Ville spectrum. The present approach is based on the spread Weyl symbol of the LTV filter, and is asymptotic in nature. For the spreading factor, a lower bound is suggested by means of an uncertainty inequality.

研究の動機と目的

• LTIチャネルにおける古典的ウォーターフィリング結果を、平均エネルギー制約付きの線形時変化（LTV）チャネルへ拡張すること。
• 白色ガウスノイズのLTVフィルタリングによって生成される非定常源のレート・ディストーション関数を、逆ウォーターフィリングによる特徴付けを得ること。
• LTVフィルタに関連する時間周波数作用素のクラスに対して、新しいツェゴ定理を確立し、漸近的解析を可能とすること。
• 漸近的近似の有効性を保証するため、スプリーディング要因 r の下界をロバートソン–シュレーディンガー不確定性不等式を用いて導出すること。

提案手法

• LTVチャネルをシュワーツ空間に属するウェイリー記号を持つヒルベルト＝シュミット作用素として定式化し、漸近的解析に適した滑らかさを保証する。
• 時間周波数スプリーディングをモデル化するため、スプリッド・ウェイリー記号 pr(t, ω) = p(t/r, ω/r) を導入し、r ≥ 1 をスプリーディング要因とする。
• スプリッド・ウェイリー記号の逆数の二乗絶対値を用いた時間周波数平面におけるウォーターフィリングにより、チャネル容量を導出する。
• スプリッド・ウェイリー記号の二乗絶対値を用いた逆ウォーターフィリングにより、レート・ディストーション関数を導出する。これは、源のウィグナー＝ヴィレスペクトルと関連する。
• 半古典的物理学に根ざした漸近的展開を用いて、作用素の関数のトレースに関する一般化されたツェゴ定理の証明を行う。
• ロバートソン–シュレーディンガー不確定性不等式を用いて、意味のある近似が得られるようスプリーディング要因 r の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均エネルギー制約付きの決定的線形時変化（LTV）チャネルの容量を、時間周波数平面におけるウォーターフィリングで特徴付けられるか？
• RQ2 白色ガウスノイズのLTVフィルタリングによって得られる非定常源のレート・ディストーション関数は、逆ウォーターフィリング原理によって特徴付けられるか？
• RQ3 非定常状態において、古典的パワー周波数スペクトル密度に代わる適切な時間周波数表現（例：ウィグナー＝ヴィレスペクトル）は何か？
• RQ4 スプリッド・ウェイリー記号を有する時変作用素のクラスに適用可能なツェゴ型定理をどのように一般化できるか？
• RQ5 漸近的ウォーターフィリング公式が有用な近似を提供するための、スプリーディング要因 r の適切な下界は何か？

主な発見

• 平均エネルギー制約付きのLTVチャネルの容量は、r → ∞ の漸近的条件下で、LTVフィルタのスプリッド・ウェイリー記号の逆数の二乗絶対値にウォーターフィリングが適用されることで与えられる。
• 非定常源のレート・ディストーション関数は、スプリッド・ウェイリー記号の二乗絶対値に逆ウォーターフィリングが適用され、これは源のウィグナー＝ヴィレスペクトルに対応する。
• シュワーツ空間に属するウェイリー記号を有する作用素のクラスに対して、新しいツェゴ定理が証明され、両ウォーターフィリング定理の漸近的解析の基盤が構築される。
• 2変量ガウス型ウェイリー記号の場合、r = 2 といった小さなスプリーディング要因に対しても、有効期間および帯域幅推定値の相対誤差が1%未満で、高い近似精度を示す。
• ロバートソン–シュレーディンガー不確定性不等式を用いて、スプリーディング要因 r の下界が提案され、漸近的公式が実用的応用において意味を持つことを保証する。
• ツェゴ定理の証明に用いられる漸近的展開が一様収束することを示し、剰余項が任意の m ≥ 1 に対して O(r^{-2m}) のオーダーとなることから、大規模な r に対して近似の有効性が裏付けられる。