[論文レビュー] Wave Dispersion in the Linearised Fractional Korteweg - de Vries equation

Ivano Colombaro, Andrea Giusti+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分数階時間微分を用いた線形化された分数階Korteweg-de Vries（KdV）方程式における波の分散を、古典的および運動学的波方程式と比較することで検討する。分数階Caputo微分（$\alpha$ 階）を用いることで、分散関係が複素数値となり、特に $\alpha \neq 1$ の場合に位相速度および群速度に非自明な実部および虚部が生じることが示され、$\alpha = 1/2$ では完全に虚数の速度が観察される。

ABSTRACT

In this paper we discuss some properties of linear fractional dispersive waves. In particular, we compare the dispersion relations emerging from the kinematic wave equation and from the linearised Korteweg - de Vries equation with the corresponding time-fractionalized versions. For this purpose, we evaluate the expressions for the phase velocity and for the group velocity, highlighting the differences not only analytically, but also by means of illuminating plots.

研究の動機と目的

• 分数階時間微分が線形分散系における波の分散をどのように変化させるかを分析すること。
• 運動学的波方程式および線形化KdV方程式の古典的・分数階バージョンにおける分散関係、位相速度、群速度を比較すること。
• 分数階微分によって生じる複素数の位相速度および群速度の出現を調査すること。
• $\alpha$ の変化に伴う実部から虚部への移行を数値的に図示し、特に $\alpha = 1/2$ および $\alpha = 3/4$ での挙動を示すこと。

提案手法

• フーリエ変換を用いて、通常微分および分数階時間微分を含む線形化KdV方程式の分散関係を導出する。
• 記憶効果をモデル化するため、$\alpha \in (0,1)$ の分数階Caputo微分を適用する。
• 角周波数 $\omega(k)$ を $i^{-1+1/\alpha}$ を含む複素関数として表現し、複素数の位相速度および群速度を導出する。
• 三角関数 $\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}$ を用いて、位相速度および群速度の実部および虚部を計算する。
• 異なる $\alpha$ 値（$\alpha = 1$、$\alpha = 1/2$、$\alpha = 3/4$ を含む）における位相速度および群速度を比較するための数値的プロットを用いる。
• 位相速度および群速度の実部または虚部が一致する臨界点における速度の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1階時間微分を $\alpha$ 階の分数階Caputo微分に置き換えると、運動学的波方程式における分散関係にどのような影響を与えるか？
• RQ2 異なる $\alpha$ 値における分数階線形化KdV方程式の位相速度および群速度の解析的・数値的挙動は何か？
• RQ3 位相速度および群速度が完全に虚数になる条件は何か？その物理的意味は何か？
• RQ4 古典的KdV方程式と分数階KdV方程式との間で、位相速度および群速度の実部および虚部はどのように異なるか？
• RQ5 位相速度および群速度の実部が消えるような $\alpha$ の値は存在するか？その数学的条件は何か？

主な発見

• 分数階運動学的波方程式では、位相速度 $v_p(k)$ は複素数値となり、その実部は $\cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)k^{1/\alpha - 1}$ に比例する。
• $\alpha = 1/2$ のとき、実部に含まれるコサイン項が $\pi/2$ の引数により消え、位相速度および群速度は完全に虚数となる。
• 分数階線形化KdV方程式では、位相速度は $v_p(k) = \cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)\left(k^{1-\alpha} - k^{3-\alpha}\right)^{1/\alpha}$ で与えられ、非自明な分散を示す。
• 分数階KdV方程式の群速度 $v_g(k)$ は $\frac{1}{\alpha}\cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)\left(k - k^3\right)^{1/\alpha - 1}\left(1 - 3k^2\right)$ で与えられ、$k$ および $\alpha$ に強く依存する。
• 数値結果から、$\alpha = 3/4$ のとき、位相速度および群速度の実部および虚部が非ゼロであることが示され、混合した挙動が確認される。
• 特定の $k$ 値において $\text{Re}(\overline{v_p}) = \text{Re}(v_g)$ および $\text{Im}(\overline{v_p}) = \text{Im}(v_g)$ が成り立つことがあり、複素速度平面における共鳴的点が存在する可能性を示唆する。