[論文レビュー] Wave function of the Universe as a sum over eventually inflating universes

Karthik Rajeev|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、最終的にインフレーションに至る宇宙の和として定義される新規の量子宇宙論的波動関数を提案する。これはミニスーパースペースにおけるローレンツ経路積分を用いる。得られる波動関数はハートル＝ホーキング波動関数に比例しており、初期条件パrameter $a_0$ に対して不変である。$a_0$ を複素平面に analytically に続行すると、ノーバウンダリー提案が境界点として現れ、摂動的領域はスケール不変なパワースペクトルを生じ、ノーバウンダリー状態に一致させることで一意に固定される。

ABSTRACT

We consider a proposal to define the wave function of the Universe as a sum over spacetimes that eventually inflate. In the minisuperspace model, we explicitly show that a simple family of initial conditions, parametrized by a positive real number $a_0$, can be imposed to realise this prescription. The resulting wave function is found to be proportional to the Hartle-Hawking wave function and its dependence on $a_0$ is only through an overall phase factor. Motivated by this observation, we ask whether it is possible to analytically extend $a_0$ to an extended region $\bar{\mathcal{D}}$ in complex $a_0-$plane, while retaining the Hartle-Hawking form of the wave function. We use the condition for convergence of path integral and a recent theorem due to Kontsevich and Segal, further extended by Witten, to explicitly find $\bar{\mathcal{D}}$. Interestingly, a special point on the boundary of $\bar{\mathcal{D}}$ recovers the exact no-boundary wave function. Following that, we show that our prescription leads to a family of quantum states for the perturbations, which give rise to scale-invariant power spectra. If we demand, as an extra ingredient to our prescription, a matching condition at the "no-boundary point" in $\bar{\mathcal{D}}$, we converge on a unique quantum state for the perturbations.

研究の動機と目的

• インフレーションが、インフレーションに至る時空への経路積分の自然な結果である量子宇宙論的枠組みを構築すること。
• ノーバウンダリーまたはコンパクトな幾何学に代わる、将来のインフレーションを好む物理的に妥当な初期条件を用いて、量子宇宙論における初期条件の課題に取り組むこと。
• 得られた波動関数が複素 $a_0$-平面で解析接続可能かどうかを調査し、ハートル＝ホーキング波動関数の理解を深めるかどうかを検討すること。
• 提案された規定に従って、宇宙論的摂動の量子状態を導出し、それがスケール不変なパワースペクトルを生じるかどうかを検証すること。
• ノーバウンダリー点で追加の一致条件を課すことにより、バンチ＝デイビス真空が一意に選ばれるかどうかを調査すること。

提案手法

• 初期条件が正の実数 $a_0$ でパrameter化された、最終的にデSitter状態に到達するローレンツ幾何の和として波動関数を定義する。
• スケール因子とその運動量に境界条件を課し、将来のインフレーションを示す宇宙のみを選択することで、経路積分が適切に定義され、収束することを保証する。
• コンツェビッチ＝セガルの定理およびウィッテンによる拡張を用いて、波動関数の解析接続が有効となる複素 $a_0$-平面内の領域 $\bar{D}$ を特定する。
• 背景波動関数を計算し、それがハートル＝ホーキング波動関数に比例しており、$a_0$ に依存するのは全体の位相因子のみであることを示す。
• デSitter鞍点の周りでの線形摂動を量子化し、対応する量子状態を導出し、$p_1$ が大きい極限でスケール不変なパワースペクトルが得られることを示す。
• $a_0 = i/H$ における摂動的波動関数とノーバウンダリー状態との間で一致条件を課し、量子状態をバンチ＝デイビス真空に一意に固定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最終的にインフレーションに至る宇宙への経路積分は、ハートル＝ホーキング提案と整合する波動関数を生じるか？
• RQ2 波動関数は初期条件パrameter $a_0$ の変更に対して不変であるか？ これは初期スライシングの物理的解釈に何を意味するか？
• RQ3 波動関数が形式を保ったまま解析接続可能な、複素 $a_0$-平面内の最大領域 $\bar{D}$ は何か？
• RQ4 提案された背景波動関数の規定は、宇宙論的摂動のスケール不変なパワースペクトルを生じるか？
• RQ5 ノーバウンダリー点で追加の一致条件を課すことにより、バンチ＝デイビス真空が一意に回復可能か？

主な発見

• 最終的にインフレーションに至る宇宙の和から得られる波動関数は、ハートル＝ホーキング波動関数に比例しており、$a_0$ に依存するのは全体の位相因子のみである。
• 収束基準およびコンツェビッチ＝セガルの定理を用いて、経路積分が収束し、解析接続が有効となる複素 $a_0$-平面内の領域 $\bar{D}$ が明示的に特定された。
• $a_0 = i/H$ は $\bar{D}$ の境界上にあり、この点で波動関数は正確にハートル＝ホーキング波動関数を再現する。
• 理論の摂動的領域は、$p_1$ が大きい極限でスケール不変なパワースペクトルを生じ、インフレーション予測と整合する。
• $a_0 = i/H$ における摂動的波動関数とノーバウンダリー状態との一致条件を課すことにより、スケール不変な状態の1パラメータ族からバンチ＝デイビス真空が一意に選ばれる。
• この構成全体は、ハートル＝ホーキング波動関数が物理的に妥当な経路積分の複素解析的拡張として現れることを示しており、それが正確に何を意味するかを明確にしている。