[論文レビュー] Wave propagation and homogenization in 2D and 3D lattices: a semi-analytical approach

Anton A. Kutsenko, Adam J. Nagy+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、縦波および曲げ波を支持するビーム要素を用いた2次元および3次元周期的ラティスにおける波動伝播および均質化をモデル化するための準解析的手法を提示する。ブロッホ＝フローベル条件を適用することで、動的剛性マトリクスを介して一般化ヘルミート固値問題に帰着させ、準静的極限における分散関係およびクリスティオフェル行列の解析的導出が可能になる。この手法は、ヘキサゴナルおよびテトラヘドラルラティスにおけるバンド構造および1波動（音響的）行動を高精度で予測でき、FEMシミュレーションと高い一致を示す。

ABSTRACT

Wave motion in two- and three-dimensional periodic lattices of beam members supporting longitudinal and flexural waves is considered. An analytic method for solving the Bloch wave spectrum is developed, characterized by a generalized eigenvalue equation obtained by enforcing the Floquet condition. The dynamic stiffness matrix is shown to be explicitly Hermitian and to admit positive eigenvalues. Lattices with hexagonal, rectangular, tetrahedral and cubic unit cells are analyzed. The semi-analytical method can be asymptotically expanded for low frequency yielding explicit forms for the Christoffel matrix describing wave motion in the quasistatic limit.

研究の動機と目的

• 周期的2次元および3次元ビームラティスにおける波動伝播を、高い精度と計算効率で扱う準解析的フレームワークの構築を目的とする。
• 動的剛性マトリクスに基づく一般化固値問題を解くことにより、長方形、ヘキサゴナル、および立方体ラティスの明示的分散関係を導出することを目的とする。
• 閉形式のクリスティオフェル行列を用いて準静的極限における挙動を抽出し、有効材料特性の高精度な均質化を可能とすることを目的とする。
• ヘキサゴナルおよびテトラヘドラルユニットセルを含む複雑なラティス幾何形状について、FEMシミュレーションと比較してモデルを検証することを目的とする。
• 対称ラティスにおける1波動（音響的）行動の出現を示し、フォノニクス結晶およびペンタモード材料の設計への応用可能性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、ラティスのビーム部材における縦波および曲げ波モードをモデル化するためにティモシェンコビーム理論を用いる。
• 端部の力と変位を関係付ける動的剛性マトリクスを明示的に導出し、そのマトリクスがヘルミート的であり、正の固有値を有することを保証する。
• ユニットセルにブロッホ＝フローベル周期的境界条件を適用し、波の周波数と波数に対する一般化固値問題に問題を還元する。
• 低周波数漸近挙動のため、準静的極限におけるクリスティオフェル行列を解析的に導出し、均質化を可能にする。
• 数値解は、離散化されたk空間グリッド上でシステムマトリクスの最小固有値を求める方法により得られ、収束は許容誤差しきい値によって制御される。
• 結果は、COMSOLを用いたFEMシミュレーションと直接比較し、複数のラティスタイプにおける分散曲線の一致を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEMを完全に依存しない準解析的アプローチが、2次元および3次元ビームラティスの全分散スペクトルを高精度に予測できるか。
• RQ2 曲げ波寄与が、特に有効質量の観点から、ラティス構造の準静的均質化に与える影響は何か。
• RQ3 ラティスの対称性が1波動行動および準音響的波動伝播を可能にする役割は何か。
• RQ4 動的剛性マトリクス形式主義が、テトラヘドラルおよび立方体構造を含む3次元ラティスにどの程度まで拡張可能か。
• RQ5 さまざまなラティス対称性に対して、低周波数極限におけるクリスティオフェル行列の明示的解析的表現を導出できるか。

主な発見

• 準解析的モデルは、立方体ラティスの最初の8つの分散分岐をFEMシミュレーションと非常に良好に再現しており、特に伝搬モードおよび共鳴モードにおいて優れた一致を示す。
• 立方体ラティスにおける最初の2つの共鳴周波数は51.949 kHzおよび92.354 kHzであり、分散図では平坦な分岐として現れ、モデルが良好に予測されている。
• テトラヘドラルラティスでは、5〜20 kHzの範囲に広い1波動領域が存在し、高い対称性のため波動はほぼ非分散的かつ等方的であり、有効なスカラー波動挙動と一致する。
• 長方形、ヘキサゴナル、および立方体ラティスに対して、準静的極限におけるクリスティオフェル行列を閉形式で導出し、有効剛性および質量特性の高精度な均質化を可能にした。
• モデルは、曲げ波効果を無視すると静的極限における有効質量が低く見積もられることを示しており、正確な均質化には曲げモードの包含が不可欠であることを確認した。
• 本手法は3次元ラティスに成功裏に拡張され、本ビームベースの準解析的フレームワークを用いたヘキサゴナルおよびテトラヘドラルユニットセルラティスの初の解析的取り扱いが達成された。