[論文レビュー] 'Wave type' spectrum of the Gurtin-Pipkin equation of the second order

С. А. Иванов|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、指数的減衰項からなるカーネルを有する2階Gurtin-Pipkin積分微分方程式のスペクトル特性を分析する。ラプラス変換と漸近解析を用いて、複素スペクトルが2つの固有値列から成り、波動方程式のスペクトルに漸近的に近づくことを証明し、減衰パラメータαとβに依存する明示的な位置公式を導出する。

ABSTRACT

We study the complex part of the spectrum of the the Gurtin-Pipkin integral-differential equation of the second order in time. We consider the model case when the kernel is a sum of exponentials $a_k\exp(-b_k)$ with $a_k=1/k^\a$, $b_k=k^\b$. We show that there are two complex sequences of points of the spectrum asymptotically close to the spectrum points of the wave equation.

研究の動機と目的

• べき則減衰カーネル $ a_k = k^{-\alpha}, b_k = k^{\beta} $ を有する2階Gurtin-Pipkin方程式の複素スペクトルを特徴づけること。
• カーネル内の減衰パラメータαとβがスペクトル構造に与える依存関係を理解すること。
• 大きなnに対して複素平面における固有値の漸近的位置、特に虚軸付近を特定すること。
• スペクトルが標準波動方程式のスペクトルに類似する波動的挙動を示す条件を確立すること。

提案手法

• 各フーリエモードに対して時間に関する無限個の常微分方程式系にPDEを簡約するため、フーリエ法を適用する。
• 積分微分方程式を複素周波数領域における有理関数に変換するためにラプラス変換を用いる。
• 分母 $ z^2 + n^2 - n^2 K(z) $ の零点の集合としてスペクトルを定義する。ここで $ K(z) $ はカーネルのラプラス変換である。
• カーネルを $ K(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha (z + k^\beta)} $ とモデル化し、|z|が大きい場合の漸近的挙動を分析する。
• 誤差の制御が可能な積分近似 $ h(z) = \int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha (z + x^\beta)} $ を用いて級数を積分に置き換える。
• 複素解析と不動点反復法を用い、$ z_n = in + \tau_n n $ とおいて虚軸付近の固有値を特定し、$ \tau_n = g_n(\tau_n) $ を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gurtin-Pipkin方程式の複素固有値は、大きなnに対してどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 αとβのどのような条件下でスペクトルが波動方程式のスペクトルに類似するか？
• RQ3 カーネルが $ k^{-\alpha} e^{-k^\beta t} $ のように減衰する場合、複素平面におけるスペクトル点の正確な漸近的位置は何か？
• RQ4 パrameter $ r = (\alpha + \beta - 1)/\beta $ が1以下である場合、スペクトル構造はどのように変化するか？
• RQ5 スペクトルは波動的パターンで近似可能か？虚軸からの補正項は何か？

主な発見

• $ r < 1 $ の場合、スペクトル点 $ z_n^\pm $ は漸近的に $ in + c_r e^{-i(r+1)\pi/2} n^{1-r} $ に位置し、$ c_r = \frac{\pi}{\beta \sin \pi r} $ である。
• $ r = 1 $ の場合、固有値は $ z_n^\pm = \pm in - \frac{1}{2\beta} \log n + O(1) $ であり、対数補正が現れる。
• スペクトルは実軸に関して対称な2つの複素共役の固有値列から成る。
• K(z) の漸近的挙動は、$ r < 1 $ の場合 $ c_r z^{-r} + O(|z|^{-1}) $、$ r = 1 $ の場合 $ \frac{1}{\beta} \frac{\log(1+z)}{z} + O(|z|^{-1}) $ である。
• 級数 $ K(z) $ を積分 $ h(z) $ で近似する際の誤差は $ O(1/|z|) $ で抑えられ、$ r \leq 1 $ のときには主項よりも小さい。
• 不動点議論により、零に近い一意の解 $ \tau_n $ が存在することが確認され、大規模なnに対してスペクトル点が適切に定義されかつ分離されていることが保証される。