[論文レビュー] Wavefront Sets of Unipotent Representations of Reductive $p$-adic Groups II

Dan Ciubotaru, Lucas Mason‐Brown+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2023

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、再帰的 $p$-進群の不変量が実数である非可約ユニポテンツ表現の波面集合に対して、正確な公式を確立する。Lusztigの算術的・幾何的対応と一般化されたSpringer対応を用いて、代数的波面集合がシングルトンであることを証明し、MœglinとWaldspurgerの予想を裏付け、既存の結果をIwahori-球対称でない場合にまで拡張する。

ABSTRACT

The wavefront set is a fundamental invariant of an admissible representation arising from the Harish-Chandra-Howe local character expansion. In this paper, we give a precise formula for the wavefront set of an irreducible representation of real infinitesimal character in Lusztig's category of unipotent representations in terms of the Deligne-Langlands-Lusztig correspondence. Our formula generalizes the main result of arXiv:2112.14354, where this formula was obtained in the Iwahori-spherical case. We deduce that for any irreducible unipotent representation with real infinitesimal character, the algebraic wavefront set is a singleton, verifying a conjecture of M\oeglin and Waldspurger. In the process, we establish new properties of the generalized Springer correspondence in relation to Lusztig's families of unipotent representations of finite reductive groups.

研究の動機と目的

• Iwahori-球対称でない場合にまで、ユニポテンツ表現の波面集合の公式を拡張すること。
• 任意の実不変量を持つ非可約ユニポテンツ表現の代数的波面集合が、MœglinとWaldspurgerの予想通りにシングルトンであることを検証すること。
• Lusztigのユニポテンツ表現のファミリーに関連する一般化されたSpringer対応の新しい性質を確立すること。
• 算術的・幾何的対応を通じて、波面集合をDeligne-Langlands-Lusztig対応と結びつけること。
• ユニポテンツ表現をパラメータ化する三つ組 $(s, n, \rho)$ を用いた波面集合の均一な公式を提供すること。

提案手法

• Lusztigの算術的・幾何的対応を用いて、$p$-進群のユニポテンツ表現をLanglands双対群上のデータと関連付ける。
• 一般化されたSpringer対応を用いて、極小軌道と成分群の表現を関連付ける。
• 双対群上のペア $(O_\lambda, \bar{C})$ に対する双対写像 $d_A$ を用いて波面集合を特定する。
• 標準的モジュールと順序付きヘッケ代数の変形理論を用いて、テンパードおよびユニポテンツ表現を分析する。
• Aubert-Zelevinsky双対性を用いて、双対表現の波面集合を関連付ける。
• 還元定理とアフィンヘッケ代数上の幾何的構造を用いて、極小軌道のデータを通じて波面集合を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的 $p$-進群の非可約ユニポテンツ表現で、実不変量を持つものの波面集合の正確な公式は何か？
• RQ2 このような表現の代数的波面集合は、常にMœglinとWaldspurgerの予想通りに一つの極小軌道から成るのか？
• RQ3 一般化されたSpringer対応は、Deligne-Langlands-Lusztig対応における波面集合不変量とどのように関係するか？
• RQ4 算術的・幾何的対応を用いて、古典的型および例外型のすべてのタイプにおいて波面集合を一様に計算できるか？
• RQ5 標準的非分岐波面集合 $KWF(X)$ は、代数的波面集合 $\bar{k}WF(X)$ を回復する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 実不変量を持つ任意の非可約ユニポテンツ表現の代数的波面集合 $\bar{k}WF(X)$ はシングルトンである。これはMœglinとWaldspurgerの予想を裏付ける。
• 波面集合は、双対群の極小軌道と $\bar{A}(O)$ 内の共役類に関する双対写像 $d_A$ を用いて明示的に計算される。
• この公式は、[CMO21]の主結果をIwahori-球対称の場合から、実不変量を持つすべてのユニポテンツ表現にまで一般化する。
• 古典的型では一般化されたSpringer対応が忠実であることが示され、例外型では組合せ論的解析により忠実性が確立される。
• 標準的非分岐波面集合 $KWF(X)$ が代数的波面集合 $\bar{k}WF(X)$ を決定することを示し、$KWF(X)$ が $WF(X)$ の精錬であるという期待を支持する。
• $X(s,n,\rho)$ の波面集合は、$n$ に対応する軌道 $O_\lambda$ と、$\rho$ によって定まる $\bar{A}(d(O_\lambda))$ 内の類 $\bar{C}$ を用いて $d_A(O_\lambda, \bar{C})$ で与えられる。