[論文レビュー] Wavefunction preparation and resampling using a quantum computer

Alexei Kitaev, William A. Webb|ArXiv.org|Jan 2, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、キュービットアレイ上で多次元ガウス波動関数を準備するための量子アルゴリズムを提示し、補助キュービットと制御操作を用いて波動関数の再グリッド化（異なるグリッドへの変換）を可能にしている。この手法は、スケーリング下での一様な重ね合わせの不変性を活用し、再帰的状態準備とシアリング変換を用いてそれをガウス状態へ拡張し、量子シミュレーションにとって極めて重要な高精度な波動関数再スケーリングを達成する。

ABSTRACT

We present an algorithm that prepares multidimensional Gaussian wavefunctions on qubit arrays and an application of such wavefunctions to multidimensional resampling, a technique useful in quantum digital simulation.

研究の動機と目的

• デジタル量子コンピュータ上での連続的多次元ガウス波動関数の離散的近似を準備するための手法を開発すること。
• 量子コンピュータ上での離散化に起因する非一対一写像となる場合の、波動関数のグリッド間再スケーリングの課題に対処すること。
• 補助キュービットを用いた量子回路により、スケーリングや線形変換を伴う波動関数の正確な変換を可能にすること。
• ガウス状態の滑らかさと低位ビットにおける周期性を活用することで、再スケーリング中に量子コherー二ャンスが保持されることを保証すること。
• 一次元の波動関数準備および再スケーリングを、シアリング変換と多次元ガウス状態を用いて高次元へ一般化すること。

提案手法

• エラー関数の評価を回避するため、ヤコビ・シータ関数に基づく再帰的状態準備を用いて、キュービットレジスタ上に離散ガウス状態を生成する。
• 再帰的分解を適用する：|ξσ,μ,N⟩ = |ξσ/2,μ/2,N−1⟩⊗cosα|0⟩ + |ξσ/2,(μ−1)/2,N−1⟩⊗sinα|1⟩、ここでαは正規化関数fに依存する。
• 補助キュービットレジスタを用いた制御変換により再スケーリングを実装し、シフトおよびスケーリングされたグリッド点の重ね合わせを生成する。
• 結合系AB上に帯状の状態|η₂⟩を構築し、固定されたyに対して垂直ストリップ(x, y)に沿って振幅が一定であり、波動関数が直線y = x/aに沿って整列するようにする。
• スケーリング下での一様重ね合わせの不変性を活用し、重ね合わせの重なりが大きいことを保証することで、目的の再スケーリング波動関数ξ(y) = √a ψ(ay)を近似する。
• 補助レジスタをアンコンピュートするために準備回路の逆を適用し、ターゲット系を再スケーリング波動関数に非常に近い状態に残す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的多次元ガウス波動関数を、キュービットベースの量子コンピュータ上で正確に離散化し、準備する方法は何か？
• RQ2 離散化に起因する非一対一写像となる場合、波動関数を一つのグリッドから別のグリッドへ再スケーリングするメカニズムは何か？
• RQ3 グリッドの引き伸ばしや圧縮を伴う変換において、波動関数の再スケーリング中に量子コherー二ャンスをどのように保てるか？
• RQ4 一様重ね合わせと低位ビットにおける周期性が、滑らかな波動関数の再スケーリングを可能にする役割は何か？
• RQ5 多次元ガウス状態は、一般の線形変換下での再スケーリングのための普遍的リソースとして機能できるか？

主な発見

• アルゴリズムにより、μ ≫ σ ≫ 1の条件下で、Nキュービット系上に離散ガウス波動関数を準備でき、連続極限における精度に近づく。
• 補助キュービットを用いた制御変換により再スケーリングが達成され、n ≫ 1かつn ≪ 2^Nの条件下で状態|η₂⟩は目標の再スケーリング状態|~η₂⟩にほぼ等しくなる。
• 重なり合う垂直ストリップと水平ストリップにおける振幅がほぼ等しくなることが保証され、滑らかさとスケール条件の下で|η₂⟩ ≈ |~η₂⟩の近似が妥当であることが裏付けられる。
• ヤコビ・シータ関数に基づく再帰的構造により、エラー関数の評価を回避した効率的な離散ガウス状態の準備が可能になる。
• 高次元におけるシアリング変換の使用により、共分散行列の対角化を回避して一般の線形再スケーリングが可能になる。
• アンコンピュートの後、最終状態は目的の再スケーリング波動関数ξ(y)に任意に近くなり、ターゲット系は状態|ξ(y)⟩に、補助レジスタは|0^N⟩に収束する。