[論文レビュー] Wavelet Analysis of the Besov Regularity of Lévy White Noises

Shayan Aziznejad, Julien Fageot|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 69被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ウェーブレットに基づく手法を用いて、局所的滑らかさと漸近的成長の両方を特徴づけることで、Lévyホワイトノイズの正確なBesov正則性を確立する。ウェーブレット係数のための新たなモーメント推定式を導入し、重み付きBesov空間への包含に関する鋭い臨界インデックスを同定することで、局所的滑らかさおよび成長率に関する先行研究の鋭さに関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We characterize the local smoothness and the asymptotic growth rate of the Lévy white noise. We do so by characterizing the weighted Besov spaces in which it is located. We extend known results in two ways. First, we obtain new bounds for the local smoothness via the Blumenthal-Getoor indices of the Lévy white noise. We also deduce the critical local smoothness when the two indices coincide, which is true for symmetric-alpha-stable, compound Poisson, and symmetric-gamma white noises to name a few. Second, we express the critical asymptotic growth rate in terms of the moment properties of the Lévy white noise. Previous analyses only provided lower bounds for both the local smoothness and the asymptotic growth rate. Showing the sharpness of these bounds requires us to determine in which Besov spaces a given Lévy white noise is (almost surely) not. Our methods are based on the wavelet-domain characterization of Besov spaces and precise moment estimates for the wavelet coefficients of the Lévy white noise.

研究の動機と目的

• 重み付きBesov空間におけるLévyホワイトノイズの正確な局所的滑らかさおよび漸近的成長率を特定すること。
• 既知の下界と鋭い特徴づけとの間のギャップを埋めるために、既存の境界の鋭さを証明すること。
• 正則性解析に不可欠なLévyホワイトノイズのウェーブレット係数のための新たなモーメント推定式を開発すること。
• プロセスがほとんど確実に空間に属さない臨界Besovパラメータ（τp, ρp）を同定することで、鋭さを確立すること。
• ガウスおよび安定分布にとどまらないLévyホワイトノイズに対し、ウェーブレットに基づく正則性解析を拡張すること。

提案手法

• 重み付きBesov空間のウェーブレット特徴づけを用いて、Lévyホワイトノイズの正則性を分析する。
• 特性指数およびBlumenthal-Getoorインデックスに基づいて、ウェーブレット係数の新たなモーメント推定式を導出する。
• ウェーブレットドメイン表現を適用して、スケールjにおけるウェーブレット係数のLpノルムの上界および下界を導出する。
• モーメント挙動を捉え、正則性推定値を精緻化するために、新たなインデックスβ∞およびβ̄∞を導入する。
• 包含（正の結果）と非包含（負の結果）を組み合わせることで、鋭さを特定する。
• ウェーブレット展開を用いて、一般化関数をその係数の言語で表現し、減衰および成長率を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きBesov空間Bpτ(Rd;ρ)におけるLévyホワイトノイズの正確な臨界局所的滑らかさτp(w)は何か？
• RQ2 重み付きBesov空間Bpτ(Rd;ρ)におけるLévyホワイトノイズの臨界漸近的成長率ρp(w)は何か？
• RQ3 ウェーブレット手法を用いて、局所的滑らかさおよび成長率に関する以前に知られていた下界の鋭さを証明できるか？
• RQ4 Blumenthal-Getoorインデックスβ̄∞およびβ∞は、臨界Besovパラメータτp(w)およびρp(w)とどのように関係するか？
• RQ5 臨界パラメータτ=τp(w)またはρ=ρp(w)において、LévyホワイトノイズがBesov空間に属さないことはほとんど確実に真か？

主な発見

• 臨界局所的滑らかさτp(w)は、β̄∞ = β∞のときmin{1/p, β̄∞}として特徴づけられ、これは対称α安定、複合ポアソン、対称ガンマホワイトノイズにおいて成立する。
• 一般のLévyホワイトノイズに対しては、局所的滑らかさは鋭い不等式β̄∞ ≤ τp(w) ≤ min{1/p, β∞}を満たし、β̄∞ = β∞のとき等号が成立する。
• 臨界漸近的成長率ρp(w)は、p ≤ β∞のときmin{−d/p, −d/β∞}として決定され、これにより以前の下界が改善される。
• 本稿では、τ = τp(w)またはρ = ρp(w)のとき、w ∉ Bpτ(Rd;ρ)がほとんど確実に成り立つことを証明し、境界の鋭さを確認する。
• 複合ポアソンおよび有限モーメントLévyホワイトノイズに対しては、臨界パラメータにおける非包含が厳密に確立される。
• 結果はすべてp ∈ (0, ∞]に対して拡張可能であり、p > 2に対しても公式が有効であると予想されるが、現在の証明はp < 2に限定されている。