[論文レビュー] Wavelet-based Heat Kernel Derivatives: Towards Informative Localized Shape Analysis

Maxime Kirgo, Simone Melzi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元形状の局所的解析のための新規なマルチスケールツールとして、波<wbr>ルーレットに基づく熱核導関数を導入する。時間微分を用いて表面に直接、局所的でメキシカンハット型のウェーブレットを構築する。この手法により、δ関数の正確かつ効率的な再構成と転送が可能となり、部分的かつ大規模な形状マッチングにおいて、既存手法を上回る性能を発揮する。速度面でも優れており、高い精度を維持する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new construction for the Mexican hat wavelets on shapes with applications to partial shape matching. Our approach takes its main inspiration from the well-established methodology of diffusion wavelets. This novel construction allows us to rapidly compute a multiscale family of Mexican hat wavelet functions, by approximating the derivative of the heat kernel. We demonstrate that it leads to a family of functions that inherit many attractive properties of the heat kernel (e.g., a local support, ability to recover isometries from a single point, efficient computation). Due to its natural ability to encode high-frequency details on a shape, the proposed method reconstructs and transfers $\delta$-functions more accurately than the Laplace-Beltrami eigenfunction basis and other related bases. Finally, we apply our method to the challenging problems of partial and large-scale shape matching. An extensive comparison to the state-of-the-art shows that it is comparable in performance, while both simpler and much faster than competing approaches.

研究の動機と目的

• ラプラス＝ベルトラミ固有関数のようなグローバルでローパassな基底の限界を克服する、局所的かつマルチスケールな3次元形状解析のための表現を構築すること。
• 部分形状や極めて異なる三角形メッシュ構成といった困難な状況下でも、正確なポイント対ポイントの対応を可能にすること。
• 部分関数マップのような複雑なパイプラインに代わる、計算的に効率的な代替手法を提供すること。性能はそれらと同等またはそれを上回ることを目的とする。
• 高周波成分を標準的なスペクトル基底よりも忠実に捉える、局所的かつ過完備な基底（辞書）を構築すること。

提案手法

• 本手法は、スペクトル分解を避けるために、形状表面における熱核の時間微分を近似することで、メキシカンハット型ウェーブレットを構築する。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素が定義する拡散過程を活用することで、局所的支持を確保し、1点からの等長性回復を実現する。
• マルチスケールな拡散フレームワークを用いてウェーブレット関数を効率的に計算し、複数スケールでの高速評価を可能にする。
• 得られた関数族は冗長なフレーム（過完備基底）を形成し、LBO固有関数よりも豊かな関数的表現能力を有する。
• スパースな初期対応を用いてマッピングプロセスをブートストラップし、計算コストを顕著に削減する。
• 微細な幾何的詳細を保持する、コンactで局所的な表現を介して関数転送と密な対応を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱核の時間微分を用いて、3次元形状解析のための局所的かつ情報量の多いウェーブレットを構築できるか？
• RQ2 このウェーブレット構築法は、標準的なLBO固有関数と比較して、δ関数の再構成や形状間の関数転送において優れているか？
• RQ3 この手法は、部分的および大規模な形状マッチングにおいて、顕著に高速な最新技術を上回る性能を達成できるか？
• RQ4 メッシュ接続性の変化や部分形状の設定下で、この手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案手法は、低メモリ予算下でも、ラプラス＝ベルトラミ固有関数基底や他の関連基底よりも、δ関数の再構成と転送をより正確に実現する。
• SHREC16の部分カットベンチマークにおいて、本手法は部分関数マップ（PFM）— 既存の最先端手法 — と同等の性能を達成する。特に、正確なスパース対応で初期化された場合に顕著である。
• 平均して1形状ペアあたり46.2秒で形状対応を計算する。これは、PFMスパース（99.5秒）およびPFM（240.9秒）を上回り、13倍の高速化を達成する。
• ネコクラスにおいて20または30の真値対応で初期化した場合、本手法はPFMと同等またはそれ以上の性能を示し、スパース初期化に対して高いロバストネスを示す。
• ウェーブレットに基づく表現は過完備な辞書を形成し、LBO固有関数、拡散関数、および他の基底よりも豊かな関数的表現能力を有する。
• 本手法は、熱核の主な性質を継承しており、1点からの等長性回復の能力を維持するとともに、局所的支持と計算の効率性を保つ。