[論文レビュー] Wavelet estimation of the long memory parameter for Hermite polynomial of Gaussian processes

Marianne Clausel, François Roueff+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Image and Signal Denoising Methods参考文献 39被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、ガウス過程のヘルミート多項式として構成される非ガウス過程における長記憶パラメータのウェーブレットに基づく推定を検討する。ウェーブレットスカリオグラムの漸近的分布が、元の過程が2次以上のヘルミート多項式であっても、ウィenerクラウド展開の構造および大スケールにおけるウェーブレット係数の挙動のため、非ガウス的であるローゼンブラット過程（2次）に収束することを示している。

ABSTRACT

We consider stationary processes with long memory which are non-Gaussian and represented as Hermite polynomials of a Gaussian process. We focus on the corresponding wavelet coefficients and study the asymptotic behavior of the sum of their squares since this sum is often used for estimating the long-memory parameter. We show that the limit is not Gaussian but can be expressed using the non-Gaussian Rosenblatt process defined as a Wiener It\\^o integral of order 2. This happens even if the original process is defined through a Hermite polynomial of order higher than 2.

研究の動機と目的

• 非ガウス的長記憶過程（ガウス過程のヘルミート多項式として得られる）のウェーブレットスカリオグラムの漸近的挙動を分析すること。
• 特に非ガウス的自己相似的かつ長距離依存的過程に対して、ガウス過程に限らないウェーブレットに基づく推定法を拡張すること。
• 長記憶パラメータ $ d $ のセミパラメトリック推定を支援するウェーブレット係数の極限定理を確立すること。
• ウィーナークラウド分解がウェーブレットスカリオグラムの極限分布を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、長距離依存性を示す定常ガウス過程 $ X_t $ の $ q_0 $ 次ヘルミート多項式として過程 $ Y_t $ をモデル化する。
• ウェーブレット係数 $ W_{j,k} $ は、スケール $ j $ におけるウェーブレットフィルタ $ h_j $ との畳み込みにより定義され、$ j \to \infty $ かつ $ n \to \infty $ を想定する。
• スカリオグラム $ S_{n,j} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} W_{j,k}^2 $ は、セミパラメトリック設定のもとで漸近的に分析される。
• 正規化スカリオグラムの極限分布は、ウィーナークラウド理論および複素数値の多重ウィener-ito積分の道具を用いて導出される。
• 多重ウィーナー-ito積分の積分公式（補題B.1）が、ウェーブレット係数の積を直交クラウド成分に分解するために用いられる。
• 解析により、極限がガウス的ではなく、2次ローゼンブラット過程に関連する非退化な非ガウス過程であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス過程のヘルミート多項式として構成される非ガウス的長記憶過程のウェーブレットスカリオグラムの漸近的分布は何か？
• RQ2 ヘルミート多項式の次数が2より大きい場合でも、元の過程が非ガウス的であっても、スカリオグラムの極限分布はガウス的のままであるか？
• RQ3 ウィーナークラウド分解の構造が、長記憶設定におけるウェーブレットスカリオグラムの極限にどのように影響を与えるか？
• RQ4 スカリオグラムを用いた長記憶パラメータ $ d $ のウェーブレット推定は、非ガウス的過程に対しても一貫して適用可能か？ その極限分布は何か？
• RQ5 ローゼンブラット過程は、$ q_0 > 2 $ のヘルミート過程のウェーブレットスカリオグラムの漸近理論において、どのように役立つか？

主な発見

• 長記憶ガウス過程のヘルミート多項式（次数 $ q_0 \geq 2 $）の正規化ウェーブレットスカリオグラムの漸近的分布は非ガウス的である。
• 極限は、2次ウィーナー-ito積分として表現可能な非退化な確率変数であり、すなわちローゼンブラット過程そのものである。
• 元の過程が2次より高いヘルミート多項式であっても、2次クラウド成分が漸近的挙動を支配するため、非ガウス的極限が生じる。
• パラメトリックなスペクトル密度の形態を、長記憶の挙動 $ f(\lambda) \sim |\lambda|^{-2d} $ 以外に仮定しないセミパラメトリック設定のもとで、この結果は成り立つ。
• スカリオグラムがローゼンブラット過程に収束することは、このような非ガウス的過程に対して、標準的なガウス的推論をウェーブレット推定量に直接適用できないことを示唆する。
• 理論的枠組みは、複素数値への多重ウィーナー-ito積分の積分公式の拡張に依拠しており、本稿ではこれを厳密に証明している。