[論文レビュー] Wavelet filters and infinite-dimensional unitary groups

Ola Bratteli, Palle E. T. Jørgensen|ArXiv.org|Jan 28, 2000

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 22被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、ウェーブレットフィルタ、Cuntz代数 $\mathcal{O}_N$ の表現、および無限次元ユニタリループ群 $\mathrm{Map}(\mathbb{T}, \mathrm{U}(N))$ の間で一対一対応を確立する。四分周波数ミラー・フィルタは $\mathcal{O}_N$ のユニタリ表現から生じ、ループ群作用を用いてローパスフィルタを多スケール系に分類・拡張する。表現の非可約性はスケーリング因子 $N$ の最小性に関連する。主たる貢献は、$\mathcal{O}_N$-表現とループ群構造を通じて、ウェーブレット理論、作用素代数、調和解析を統合する枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In this paper, we study wavelet filters and their dependence on two numbers, the scale N and the genus g. We show that the wavelet filters, in the quadrature mirror case, have a harmonic analysis which is based on representations of the C^*-algebra O_N. A main tool in our analysis is the infinite-dimensional group of all maps T -> U(N) (where U(N) is the group of all unitary N-by-N matrices), and we study the extension problem from low-pass filter to multiresolution filter using this group.

研究の動機と目的

• ウェーブレットフィルタ、Cuntz代数 $\mathcal{O}_N$ の表現、およびループ群 $\mathrm{Map}(\mathbb{T}, \mathrm{U}(N))$ の間の一対一対応を確立すること。
• ユニタリループ群作用を用いて、ローパスフィルタを多スケールウェーブレット系に体系的に拡張する手法を提供すること。
• $\mathcal{O}_N$ のウェーブレット表現を非可約性とユニタリ同倣を用いて分類し、構造的性質をスケーリングパラメータ $N$ に関連付けること。
• 種数 $g$ とスケーリング因子 $N$ がウェーブレット表現の分解構造をどのように決定するかを明確にすること。

提案手法

• Cuntz関係式を用いて、$L^2(\mathbb{T})$ 上に $\mathrm{U}(N)^\mathbb{T}$ に値をとる行列値関数 $A(z)$ をパrameterとする $\mathcal{O}_N$ の表現を定義する。
• ループ群技法を適用し、$A(z)$ を無限次元ユニタリ群 $\mathrm{Map}(\mathbb{T}, \mathrm{U}(N))$ の要素とみなして、フィルタ拡張を分析する。
• $\mathcal{B}(\mathcal{K})^\sigma$ 上の作用素 $\sigma^{(A)}$ のスペクトル解析を用いて、表現の可約性および分解を研究する。
• 多項式ループの線形因子への分解（補題5.2）を用いて、ローパスフィルタからハイパスフィルタを構成する。
• 作用素 $\sigma^{(B,A)}(E_{0,0})$ を用いた干渉作用素を用いて、表現 $T^{(A)}$ と $T^{(B)}$ 間のユニタリ同倣を同定する。
• $\mathcal{B}(\mathcal{K})^\sigma$ 内の最小射影を分析し、ウェーブレット表現の非可約成分を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ユニタリ群を用いて、ローパスウェーブレットフィルタをどのように体系的に多スケール系に拡張できるか。
• RQ2 ウェーブレットフィルタ、$\mathcal{O}_N$-表現、およびループ群要素 $\mathrm{Map}(\mathbb{T}, \mathrm{U}(N))$ の間の正確な対応関係は何か。
• RQ3 表現 $T^{(A)}$ が $\mathcal{O}_N$ で非可約または可約であるための条件は何か。
• RQ4 スケーリング因子 $N$ と種数 $g$ は、ウェーブレット表現の分解構造にどのように影響を与えるか。
• RQ5 異なるフィルタから生じる二つの $\mathcal{O}_N$-表現がユニタリ同倣であるための特徴は何か。

主な発見

• 表現 $T^{(A)}$ が非可約であるための必要十分条件は、$\mathcal{B}(\mathcal{K})^\sigma$ に付随する射影が1次元であることである。
• $N=2$ の場合、行列 $A(z) = \begin{pmatrix}1&0\\0&z\end{pmatrix}$ は、最小の2次元射影 $e = E_{-1,-1} + E_{-2,-2}$ を与え、$T^{(A)}$ を $[\mathcal{O}_2 e \mathcal{K}]$ に制限したものは非可約である。
• 行列 $A(z) = \begin{pmatrix}0&1\\z&0\end{pmatrix}$ は、$L^2(\mathbb{T}) = [\mathcal{O}_2 e \mathcal{K}] \oplus [\mathcal{O}_2 f \mathcal{K}]$ の分解をもたらし、二つの同値でない非可約部分表現を有する。
• $T^{(A)}$ と $T^{(B)}$ 間の干渉作用素が存在するのは、$A^{(0)*}B^{(0)}$ の $(0,0)$ 成分が1に等しいときであり、このとき $A_{i,0}^{(0)} = B_{i,0}^{(0)}$ がすべての $i$ に対して成り立つ。これはユニタリ同倣を示唆する。
• $\lambda_0(A) = 1$ のとき、Cuntz状態が実現され、$\mathcal{B}(\mathcal{K})^\sigma$ 内のすべての1次元射影は標準基底に関して対角的である。
• $g > 2$ の場合、分解構造はより豊かになるが、$g=3$ の明示的例は、$g=2$ の場合に観察された構造を超えるものではない。