[論文レビュー] Wavelet frames, Bergman spaces and Fourier transforms of Laguerre functions

Luís Daniel Abreu|ArXiv.org|Apr 11, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラゲール関数のフーリエ変換を解析ウェーブレットとして用いるウェーブレットフレーム構成を確立し、ガボール解析におけるエルミート関数との類似性を示す。重み付きバーグマン空間における移動・スケーリング格子がフレームを生成するための十分な密度条件を導出し、その密度がラゲール指数 $ n $ に従って減少することを示す。双曲的格子に対しては、明示的な境界 $ |b \log a| < \frac{4\pi}{2n + \alpha} $ が与えられる。

ABSTRACT

The Fourier transforms of Laguerre functions play the same canonical role in wavelet analysis as do the Hermite functions in Gabor analysis. We will use them as analyzing wavelets in a similar way the Hermite functions were recently by K. Groechenig and Y. Lyubarskii in "Gabor frames with Hermite functions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 157-162 (2007)". Building on the work of K. Seip, "Beurling type density theorems in the unit disc, Invent. Math., 113, 21-39 (1993)", concerning sampling sequences on weighted Bergman spaces, we find a sufficient density condition for constructing frames by translations and dilations of the Fourier transform of the nth Laguerre function. As in Groechenig-Lyubarskii theorem, the density increases with n, and in the special case of the hyperbolic lattice in the upper half plane it is given by b\log a

研究の動機と目的

• ガボール解析における既知の結果に類似した、ウェーブレットフレームの一般密度定理の欠如に応える。
• 解析関数空間における正規直交基底とバーグマン変換を活用して、ウェーブレット系の標準的ウェーブレットを同定する。
• 第 $ n $ 個のラゲール関数のフーリエ変換によって生成される移動・スケーリング系がフレームを形成するための十分な密度条件を確立する。
• バーグマン変換の同型性を用いて、シーピの重み付きバーグマン空間に関する密度結果をウェーブレット設定に拡張する。
• ガボール解析におけるグローデンヒュッブス・リューバルスキーの手法に類似した、ウェーブレットフレームの構造的枠組みを提供する。

提案手法

• 解析ウェーブレットとして第 $ n $ 個のラゲール関数のフーリエ変換 $ S_n^\beta $ を用いる。
• バーグマン変換を適用し、$ L^2(\mathbb{R}) $ におけるウェーブレット系を上半平面または単位円板上の重み付きバーグマン空間へ写像する。
• ハードィ空間 $ H^2(\mathbb{U}) $ とバーグマン空間 $ A^{2\alpha+1}(\mathbb{U}) $ の同型性を活用して、フレーム問題を解析関数空間へ移行する。
• 重み付きバーグマン空間におけるサンプリング列のシーピの密度定理を適用し、フレーム生成のための十分な密度条件を導出する。
• 上半平面における双曲的格子の明示的フレーム条件を導出し、$ |b \log a| < \frac{4\pi}{2n + \alpha} $ を得る。ここで $ \alpha $ はラゲールパラメータである。
• 超幾何関数表現と分数線形変換を用いて、$ S_n^\alpha(t) $ を円周上での直交多項式（円形ジャコビ多項式）の形に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第 $ n $ 個のラゲール関数のフーリエ変換によって生成される移動・スケーリング系が $ L^2(\mathbb{R}) $ でフレームを形成するための十分な密度条件は何か？
• RQ2 フレーム生成に必要な密度はラゲール指数 $ n $ とパラメータ $ \alpha $ にどのように依存するか？
• RQ3 バーグマン変換を介して、ウェーブレットフレーム問題を重み付きバーグマン空間におけるサンプリング問題に還元できるか？
• RQ4 ラゲール関数のフーリエ変換は、ガボール解析におけるエルミート関数に類似した標準的ウェーブレットであると見なせるか？
• RQ5 関数 $ S_n^\alpha(t) $ が持つ構造的性質（例えば直交性、再帰的性質）は何か？ そして、それらは計算的にどのように活用できるか？

主な発見

• ラゲール関数のフーリエ変換 $ S_n^\alpha $ は、ガボール解析におけるエルミート関数に類似した、ウェーブレット系における標準的解析ウェーブレットとして機能する。
• 重み付きバーグマン空間におけるシーピのサンプリング定理を用いて、$ S_n^\alpha $ の移動・スケーリングによるフレーム生成のための十分な密度条件が導出された。
• 上半平面における双曲的格子では、フレーム条件が $ |b \log a| < \frac{4\pi}{2n + \alpha} $ と与えられ、ここで $ \alpha $ はラゲールパラメータ、$ n $ はラゲール指数である。
• 関数 $ S_n^\alpha(t) $ は実直線上で直交し、バーグマン変換による単項式 $ z^n $ の逆像としての役割を果たし、$ H^2(\mathbb{U}) $ における直交基底を形成する。
• 関数 $ S_n^\alpha(t) $ は $ C^{\alpha,n} (1/2 - it)^{-\alpha/2 -1} F(-n, \alpha/2 +1; \alpha+1; 1/(1/2 - it)) $ として表現され、これは次数 $ n $ の多項式にまで短縮される有限超幾何級数である。
• 変換 $ z = (2t - i)/(2t + i) $ を通じて、$ S_n^\alpha(t) $ は円形ジャコビ直交多項式 $ g_n^\alpha(z) $ の定数倍に写像され、効率的な計算が可能な三項再帰関係が得られる。