[論文レビュー] Wavelets in Banach Spaces

Vladimir V. Kisil|ArXiv.org|Jul 25, 1998

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、可適な群表現を用いてバナッハ空間におけるウェーブレットおよび一様状態の新しい構成を提案し、純粋数学への応用を重視している。主な貢献は、ヒルベルト空間を超えたウェーブレット理論を拡張可能な一般枠組みを提供することであり、ヘイゼンベルク群表現を介して演算子値型セガール＝バーグマン空間およびウェイの関数計算への応用を可能にする。

ABSTRACT

We describe a construction of wavelets (coherent states) in Banach spaces generated by ``admissible'' group representations. Our main targets are applications in pure mathematics while connections with quantum mechanics are mentioned. As an example we consider operator valued Segal-Bargmann type spaces and the Weyl functional calculus. Keywords: Wavelets, coherent states, Banach spaces, group representations, covariant, contravariant (Wick) symbols, Heisenberg group, Segal-Bargmann spaces, Weyl functional calculus (quantization), second quantization, bosonic field.

研究の動機と目的

• 群表現理論を用いて、ヒルベルト空間から一般のバナッハ空間へのウェーブレット理論の拡張を図ること。
• 数学的物理および作用素論に適したバナッハ空間における一様状態形式を構築すること。
• ヘイゼンベルク群の文脈において、ウェーブレット、一様状態、およびウェイの関数計算との関係を確立すること。
• バナッハ設定における演算子値型セガール＝バーグマン型関数空間を新たな関数空間のクラスとして導入すること。
• この一般化されたウェーブレット枠組みを基盤として、第二量子化およびボソン場の量子化を可能にする基盤を提供すること。

提案手法

• 離散的系列または平方可積分なベクトルを有する意味で可適であるとされるリー群のユニタリ表現に依拠する。
• ウェーブレットは、バナッハ空間内の固定されたベクトルに対する群の作用によって生成される一様状態として定義され、標準的なガボールまたはウェーブレット変換を一般化する。
• 位相空間上の関数と作用素を結びつけるために、共変および反変記号（ウィック記号）を用いる。
• ヘイゼンベルク群を主な例として用い、L^p 空間へのその表現を用いて L^p に基づくバナッハ空間におけるウェーブレットを生成する。
• L^p 関数を演算子値型バナッハ空間内の正則関数へ写像する一般化されたセガール＝バーグマン変換を導入する。
• ウェイの関数計算をこの設定に拡張し、位相空間上の関数の演算子値カーネルによる量子化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群表現を用いてヒルベルト空間構造に依存せずに、バナッハ空間におけるウェーブレットを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 非ヒルベルト的設定における連続的ウェーブレット変換を生成するにあたり、可適表現が果たす役割は何か？
• RQ3 バナッハ空間における一様状態は、ウェイの関数計算および作用素量子化とどのように関係するか？
• RQ4 セガール＝バーグマン型空間を、バナッハ空間における演算子値関数へ一般化できるか？
• RQ5 この枠組みは、第二量子化およびボソン場理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、可適な群表現を用いてバナッハ空間におけるウェーブレットおよび一様状態を構成する一般的手法を確立し、古典的ウェーブレット理論をヒルベルト空間を超えて拡張した。
• ヘイゼンベルク群の表現は、1 ≤ p ≤ ∞ に対して L^p 空間におけるウェーブレットの構成に当たる標準的例を提供する。
• 演算子値型セガール＝バーグマン空間は、作用素値をとる正則関数のバナッハ空間の新たなクラスとして導入された。
• ウェイの関数計算はこの枠組みに拡張され、位相空間上の関数の演算子値カーネルによる量子化が可能になった。
• 理論は一般化された第二量子化手順を支持し、一様状態表現を介してボソン場理論へ応用可能である。
• この枠組みは、バナッハ空間設定において一様状態、ウェーブレット、および量子化を統一的に扱うものであり、関数解析および数学的物理への応用を有する。