[論文レビュー] Wavelets in function spaces on cellular domains

Benjamin Scharf|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、細胞的領域上の強化されたトライベル＝リゾルキン函数空間におけるu-リースウェーブレット基底を構築する理論的枠組みを確立する。これは、立方体からより一般的な幾何的構造へと先行研究を拡張するものである。境界における強化性質と微分同相的分解を導入することで、滑らかでない領域におけるウェーブレット表現の課題を解決し、特に標準的なウェーブレット基底が失敗する例外的パラメータ領域においても有効である。

ABSTRACT

Nowadays the theory and application of wavelet decompositions plays an important role not only for the study of function spaces (of Lebesgue, Hardy, Sobolev, Besov, Triebel-Lizorkin type) but also for its applications in signal and numerical analysis, partial differential equations and image processing. In this context it it a hard problem to construct wavelet bases for suitable function spaces on domains, e. g. the unit cube. A big step in this direction are the contributions of Hans Triebel from 2006 to 2008 where he constructed Riesz bases for classes of Besov- and Triebel-Lizorkin spaces on domains, starting with Daubechies wavelets. But there was a problem coming from the method: He had to exclude a big number of function spaces, in particular a large class of classical Sobolev spaces. The main goal of this thesis is a construction of Riesz bases of wavelet systems also for the exceptional cases using a modification of the function spaces - the so-called reinforced function spaces.

研究の動機と目的

• 単位立方体から、$C^\infty$-領域や単位球を含むより一般的な細胞的領域へ、u-リースウェーブレット基底の理論を拡張すること。
• 特に $s - \frac{k}{p} \notin \mathbb{N}_0$ のとき、領域上の函数空間におけるウェーブレット基底の欠如を解消すること。
• 境界条件がウェーブレット基底の存在を保証するように、細胞的領域における強化函数空間 $F_{p,q}^{s,\text{rinf}}(\Omega)$ を定義・分析すること。
• 領域の分解に起因する内部境界における強化性質の必要性と自然さを検討すること。
• 標準的構成が失敗する領域（例：単位球）へ、自然な強化条件を導入することでウェーブレット基底を拡張できるかを同定すること。

提案手法

• $l$次元平面におけるハーディー不等式を用いて、特に $F_{p,q}^{s,\text{rinf}}(\mathbb{R}^n \setminus \mathbb{R}^l)$ における局所平均および原子的分解理論を領域上の函数空間へ適応する。
• 立方体や多面体領域におけるウェーブレットに適した拡張作用素およびトレース定理を用いて、$u$-リース基底の概念を応用する。
• 細胞的領域 $\Omega$ を立方体または多面体に微分同相的に分解し、重なり合う面におけるウェーブレット基底の整合性を保証する。
• 境界条件 $R_l^{r,p}$ を備えた単位立方体 $Q$ 上の強化函数空間 $F_{p,q}^{s,\text{rinf}}(Q)$ を導入し、ウェーブレット表現の安定化を図る。
• 球面 $S^{n-1}$ における帰納的構成技術を用い、北半球・南半球および赤道に分割することで、単位球 $B^n$ におけるウェーブレット基底を拡張する。
• 内部境界（例：$S^{n-1}$ の赤道）における自然な強化条件の失敗を分析し、それらが不自然かつ非標準的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 細胞的領域 $\Omega$ 上の強化されたトライベル＝リゾルキン空間 $F_{p,q}^{s,\text{rinf}}(\Omega)$ に対して、$u$-リースウェーブレット基底を構築できるか？
• RQ2 ウェーブレット基底の存在に影響を及ぼす例外的パラメータ（例：$s - \frac{k}{p} \notin \mathbb{N}_0$）は、強化された境界条件によって除去可能か？
• RQ3 分解された領域の内部境界（例：$S^{n-1}$ の赤道）に自然な強化性質 $R_l^{r,p}$ を定義できるか？
• RQ4 曲率や非凸性を含む領域の幾何的性質が、函数空間におけるウェーブレット基底の存在に与える影響は何か？
• RQ5 単位球 $B^n$ 上の $F_{p,q}^s(B^n)$ におけるウェーブレット基底構成を、自然な強化函数空間構造を用いて例外的ケースへ拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、単位立方体 $Q$ 上の強化されたトライベル＝リゾルキン空間 $F_{p,q}^{s,\text{rinf}}(Q)$ に対して、既知の非強化空間からの拡張を含めた $u$-リースウェーブレット基底を構築する。
• 微分同相的に多面体に同相な細胞的領域 $\Omega$ に対して、非臨界定域および非例外的ケースでは $F_{p,q}^{s,\text{rinf}}(\Omega)$ に $u$-リース基底が存在する。
• 臨界定域および例外的ケース（$s - \frac{k}{p} \notin \mathbb{N}_0$）では、追加の強化条件がなければ構成は失敗する。
• 内部境界（例：$S^{n-1}$ の赤道）における強化性質 $R_l^{r,p}$ は不自然かつ非標準的であると評価され、実用的利用の根拠を失う。
• 単位球 $B^n$ 上の $F_{p,q}^s(B^n)$ におけるウェーブレット基底構成は、幾何的・解析的不整合のため、自然な強化条件による例外的ケースへの拡張が不可能である。
• 球面 $S^{n-1}$ を北半球・南半球および赤道に分割することで帰納的構成が可能であるが、これは非例外的パラメータに限られ、この手法に根本的な制限が存在することが示された。