[論文レビュー] Wavelets with the Translation Invariance Property of Order N

S. Schäffer, Eric Weber|ArXiv.org|Feb 15, 2000

Image and Signal Denoising Methods参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化された多スケール解析（GMRA）の部分空間 $ V_j $ が整数平行移動に関して $ j \geq n $ のみで不変となる、新しい $ n $ 階の平行移動不変性を持つウェーブレットの定義と構成を提示する。著者らは、周波数領域におけるウェーブレット集合の補間を用いて、任意の拡大係数 $ d \geq 2 $ に対してこのようなウェーブレットの存在を証明し、それらがMSFウェーブレットを一般化する入れ子になった非閉集合 $ \mathcal{M}_n $ を形成することを示す。

ABSTRACT

All wavelets can be associated to a multiresolution like structure, i.e. an incr easing sequence of subspaces of L^2(R). We consider the interaction of a wavel et and the translation operator in terms of which of the subspaces in this multi resolution like structure are invariant under the translation operator. This ac tion defines the notion of the translation invariance property of order n. In this paper we show that wavelets of all levels of translation invariance exist, first for the classic case of dilation by 2, and then for arbitrary integral di lation factors.

研究の動機と目的

• 整数平行移動に関して $ j \geq n $ のみで不変となるような、$ n $ 階の平行移動不変性を持つウェーブレットの定義と特徴付けを行う。
• すべての $ j \in \mathbb{Z} $ で不変であるMSFウェーブレットとは異なり、不変性の階層を導入することで、平行移動不変性の概念を拡張する。
• 任意の整数拡大係数 $ d \geq 2 $ に対して、このようなウェーブレットの存在を示し、$ d=2 $ の場合に既に得られている結果を一般化する。
• 集合 $ \mathcal{L}_n $ および $ \mathcal{M}_n $ の位相的構造を解析し、$ \mathcal{L}_n $ は相対的に閉じているが、$ \mathcal{M}_n $ は閉じていないことを示す。

提案手法

• 整数平行移動 $ T^{m/d^n} $ による $ V_{-n} $ の不変性を用いて、$ n $ 階の平行移動不変性を定義し、これと $ W_0 $ の同一作用素による不変性を関連付ける。
• フーリエ変換を用いて、$ \hat{\psi} $ の台集合によってウェーブレットを特徴付け、$ 2\pi/d^n $ による平行移動に関して部分的に自己相似な集合に注目する。
• ウェーブレット集合 $ W $ と $ W_n $ の補間対を用いてウェーブレットを構成し、$ W_n \to W $ が対称差に関して収束するようにし、$ L^2 $ での収束を保証する。
• Merrillの定理を適用して、得られた一般化されたスケーリング集合 $ E_n $ がウェーブレットを生成するための必要条件を満たしていることを検証する。
• $ L^2 $ 収束とフーリエ変換の一様有界性を用いた測度論的議論により、$ \mathcal{L}_j $ が極限に関して閉じていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ n \in \mathbb{N} $ に対して、GMRA部分空間 $ V_j $ が整数平行移動に関して $ j \geq n $ のみで不変となるようなウェーブレットは存在するか？
• RQ2 $ d=2 $ に限らず、任意の整数拡大係数 $ d \geq 2 $ に対しても、このようなウェーブレットを構成できるか？
• RQ3 $ n $ 階の平行移動不変性を持つウェーブレットの集合 $ \mathcal{M}_n $ は $ L^2 $ 位相において閉じているか？
• RQ4 これらのウェーブレットは、$ \mathcal{M}_\infty $ に属するMSFウェーブレットとどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の正の整数 $ n $ に対して、任意の整数拡大係数 $ d \geq 2 $ に対して、$ n $ 階の平行移動不変性を持つウェーブレットが存在する。すなわち、$ \mathcal{M}_n \neq \emptyset $ である。
• $ V_{-n} $ が平行移動不変であるウェーブレットからなる集合 $ \mathcal{L}_n $ は、$ L^2 $ ノルムにおいて相対的に閉じている。
• $ \mathcal{M}_n $ は $ \mathcal{L}_n \setminus \mathcal{L}_{n+1} $ として定義されるが、これは閉じていない。これは、$ \mathcal{M}_1 $ 内のある列が $ \mathcal{M}_\infty $ に属するMSFウェーブレットに収束することによって示される。
• 周波数領域におけるウェーブレット集合の補間を用いることで、高階の平行移動不変性を持つウェーブレットを構成できる。これは、極限集合に収束する一般化されたスケーリング集合 $ E_n $ の列を用いる。
• 必要な不変性を $ W_0 $ で達成するため、$ 2\pi/d^n $ による平行移動に関して部分的に自己相似な周波数領域の集合に依存する。