[論文レビュー] We've walked a million miles for one of these smiles

Lorenzo De Leo, Vincent Vargas+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、上位のキュムラントに依存しない、リターン分布の低次のモーメントのみに依存する新しい正確なオプションスミルの展開を導入する。この展開により、ヘッジドモンテカルロ法を用いてスミルの歪度と曲率を特異的オプションとして計算可能となり、標準的なエッジワース展開が極端なボラティリティにおける反転した歪度-歪度関係を捉えられず、かつリターンの高きゅうつ度にもかかわらず曲率を過小評価していることが明らかになった。

ABSTRACT

We derive a new, exact and transparent expansion for option smiles, which lends itself both to analytical approximation and, perhaps more importantly, to congenial numerical treatments. We show that the skew and the curvature of the smile can be computed as exotic options, for which the Hedged Monte Carlo method is particularly well suited. When applied to options on the S&P index, we find that the skew and the curvature of the smile are very poorly reproduced by the standard Edgeworth (cumulant) expansion. Most notably, the relation between the skew and the skewness is inverted at small and large vols, a feature that none of the model studied so far is able to reproduce. Furthermore, the around-the-money curvature of the smile is found to be very small, in stark contrast with the highly kurtic nature of the returns.

研究の動機と目的

• 発散する高次のキュムラント（歪度や尖度）に依存しない、厳密なモーメントフリーのオプションスミル展開を開発すること。
• 歪度と曲率が特異的オプションとして計算可能なフレームワークを提供し、数値的取り扱いに適すること。
• 標準エッジワース展開が、高ボラティリティおよび低ボラティリティにおける観察された市場特徴（反転した歪度-歪度関係）を再現できない問題を解決すること。
• 高きゅうつ度のリターンにもかかわらず、マーケット・オプションの「マネー・アラウンド」における曲率が小さいことの実証を行い、従来のモデル仮定に疑問を呈すること。

提案手法

• スケーリングされたマネーニess $\mathcal{M}$ を用いた新しいオプション価格展開を導出する。係数 $\alpha_T$, $\beta_T$, $\gamma_T$ は $u_T = r_T / (\sigma\sqrt{T})$ の分布にのみ依存する。
• 係数を $\alpha_T = \sqrt{\pi/2} \, \mathbb{E}[|u_T|]$, $\beta_T = \sqrt{\pi/2} \, \left[1 - 2P(u_T > 0)\right]$, および $\gamma_T = \sqrt{\pi/2} \, p_T(0) - 1/(2\alpha_T)$ として表現し、一次および二次モーメントに依存する。
• ヘッジドモンテカルロ法を用いて、パラメトリックな仮定なしに、履歴データや複雑なモデルから $\alpha_T$, $\beta_T$, $\gamma_T$ を数値的に推定する。
• 極めて小さなキュムラントの極限において、新しい展開がエッジワースの公式に還元されることを示し、先行研究との整合性を検証する。
• $\beta_T$ が極端な出来事に影響されないことを示す。これは、第三モーメントに依存せず、中央値と生存確率にのみ依存するため。
• S&P 500オプションにこの手法を適用し、エッジワースモデルが市場の歪度と曲率を正しく捉えていない一貫した失敗を明らかにした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準エッジワース展開は、極端なボラティリティにおける観察されたオプション市場データの歪度と曲率を再現できないのか？
• RQ2 歪度や尖度といった発散する高次のキュムラントに依存しない、新たなオプションスミル展開を導出可能か？
• RQ3 異なるボラティリティ制度下において、スミルの歪度とリターン分布の歪度の関係は何か？
• RQ4 なぜリターン分布の高きゅうつ度にもかかわらず、「マネー・アラウンド」におけるスミルの曲率は非常に小さいのか？
• RQ5 履歴データや複雑なモデルから、パラメトリックな仮定なしに、この新しい展開を効率的に数値的に計算可能か？

主な発見

• 標準エッジワース展開は、低ボラティリティおよび高ボラティリティの両方において、S&P 500オプションで一貫して観察される反転した歪度-歪度関係を再現できない。
• スミルの歪度 $\beta_T$ は、極端な出来事に影響されない。これは、$u_T$ の中央値と尾部確率にのみ依存し、第三モーメントに依存しないため。
• 「マネー・アラウンド」におけるスミルの曲率は非常に小さいことが判明し、高きゅうつ度のリターン分布からの期待とは矛盾する。
• 極小キュムラントの極限において、新しい展開はエッジワースの公式に一致し、整合性が裏付けられるが、重い尾部に対して強い耐性を示すため、実用的状況では優れている。
• ヘッジドモンテカルロ法により、パラメトリックな仮定なしに、実市場データや複雑なモデルから $\alpha_T$, $\beta_T$, $\gamma_T$ を正確かつ効率的に推定可能である。
• この手法により、リターン分布の歪度が常にスミルの歪度を線形に決定するわけではないことが判明し、特に非ガウス的状態では、長年のモデル仮定に疑問を呈する。