[論文レビュー] Weak A_\infty weights and weak Reverse Hölder property in a space of homogeneous type

Theresa C. Anderson, Tuomas Hytönen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、同型空間において、標準的な $A_{\infty}$ 重みが強い逆ホルダー不等式（RHI）を満たさない一方で、より弱いクラスの重み—弱い $A_{u}^\text{weak}$—が弱い逆ホルダー不等式（RHI）を満たすことを確立している。ドゥイアディック技法と複数の隣接するドゥイアディック系を用いて、弱いRHI重みは自己改善性を示すが、一般の設定では $A_{\infty}$ 重みに対して強いRHIは成立しないことを証明している。

ABSTRACT

In the Euclidean setting, the Fujii-Wilson-type $A_\infty$ weights satisfy a Reverse Hölder Inequality (RHI) but in spaces of homogeneous type the best known result has been that $A_\infty$ weights satisfy only a weak Reverse Hölder Inequality. In this paper, we compliment the results of Hytönen, Pérez and Rela and show that there exist both $A_\infty$ weights that do not satisfy an RHI and a genuinely weaker weight class that still satisfies a weak RHI. We also show that all the weights that satisfy a weak RHI have a self-improving property but the self-improving property of the strong Reverse Hölder weights fails in a general space of homogeneous type. We prove most of these purely non-dyadic results using convenient dyadic systems and techniques.

研究の動機と目的

• 一般の同型空間における $A_\infty$ 重みに対して強い逆ホルダー不等式（RHI）が成り立つかどうかを解明すること。
• $A_\infty$ よりも本質的に弱い重みのクラスが、依然として弱いRHIを満たすかどうかを調査すること。
• 弱いRHI重みの自己改善性を確立し、一般の空間において強いRHI重みの自己改善性が成立しないことを示すこと。
• 証明を簡略化するために、弱い $A_\infty$ および弱いRHI重みクラスの代替的ドゥイアディック特徴づけを提供すること。
• 同型空間における弱い $A_\infty$ 重みの異なる定義が同値であることを示すこと。

提案手法

• ドゥイアディック系を用いて、フジイ＝ウィルソン型の弱い $A_\infty$ 重みのクラスを導入し、そのような重みに対する弱いRHIを定義する。
• カルデロン＝ジミンツ分解の代わりに、複数の隣接するクリスト型ドゥイアディック系を用いて証明を簡略化する。
• ドゥイアディック技法を適用して、すべての弱いRHI重みが自己改善性を有することを証明する。
• 反例を構成することで、一般の空間において $A_\infty$ 重みに対して強いRHIが成立しないこと、および強いRHI重みが一般に自己改善しないことを示す。
• 実変数法とドゥイアディック最大関数を用いて、弱い $A_\infty$ 条件から弱いRHI推定を得る。
• 補間法と弱い型推定を用いて、同型空間における弱い $A_\infty$ 重みの異なる定義の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の同型空間において、$A_\infty$ 重みに対して強い逆ホルダー不等式が成り立つか？
• RQ2 $A_\infty$ よりも本質的に弱い重みのクラスが、依然として弱い逆ホルダー不等式を満たすか？
• RQ3 すべての弱いRHI重みが、同型空間において自己改善性を示すか？
• RQ4 一般の同型空間において、強いRHI重みの自己改善性は成り立つか？
• RQ5 同型空間において、弱い $A_\infty$ 重みの異なる定義は同値か？

主な発見

• 同型空間における $A_\infty$ 重みのうち、強い逆ホルダー不等式を満たさないもの（$\kappa=1$ の場合でさえも）が存在する。
• 弱い $A_\infty^\text{weak}$ 重みのクラスは、ダブリング定数および準三角定数に依存する定数を用いて、弱い逆ホルダー不等式を満たす。
• 弱いRHIを満たすすべての重みは自己改善性を有する。つまり、ある $q>1$ に対して $w \in RH_q^\sigma$ ならば、ある $q'>q$ に対して $w \in RH_{q'}^\sigma$ が成り立つ。
• 反例により、一般の同型空間において強いRHI重みの自己改善性が成立しないことが示された。
• 弱い $A_\infty^\text{weak}$ クラスは、ある $q>1$ に対して $RH_q^\sigma$ を満たす重みのクラスと同値であり、これはすべての $\sigma > \kappa$ に対して成り立つ。
• $\mathscr{A}_\infty^\sigma$ と $A_\infty^\sigma$ の定義は $\sigma > \kappa$ のとき一致し、両者ともある $q>1$ に対して $RH_q^\sigma$ を満たすことに同値である。