[論文レビュー] Weak amenability of Coxeter groups

Gero Fendler|ArXiv.org|Mar 6, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、開単位円板上での一様有界ユニタリ表現の正則族を構成することにより、コクセター群の弱アーベル性を確立する。これは $ 0 < r < 1 $ の $ r^{{ rm l}(g)} $ の正定値関数を拡張するものである。これらの表現の正則性と一様有界性から、ノルムが1である完全有界近似恒等元がフォーリエ代数に存在することが示され、コクセター群のカウリング＝ハウガープ定数が1であることを証明する。

ABSTRACT

Let (G,S) be a Coxeter group. We construct a continuation, to the open unit disc, of the unitary representations associated to the positive definite functions g -&gt; r^l(g). (Here 0

研究の動機と目的

• 調和解析と表現論を用いて、コクセター群の弱アーベル性を確立すること。
• 正定値関数 $ r^{{ rm l}(g)} $ を、一様有界表現を用いて開単位円板へ拡張すること。
• 得られた表現族が、ノルムが1の完全有界近似恒等元をフォーリエ代数に与えることを示すこと。
• 任意のコクセター群のカウリング＝ハウガープ定数が正確に1であることを示すこと。

提案手法

• 表現 $ r^{\ell(g)} $ の解析接続を用いて、$ L^2([0,2\pi], H_r) $ 上の直接積分表現 $ \tilde{\pi}_r $ を構成する。
• 長さ $ n $ の元に対応する特性関数 $ \chi_n $ を定義し、テストベクトルのノルムと表現ノルムを用いて、それらの完全有界マルチプライヤーノルムを評価する。
• ピトリク・シュバル法を用いて、写像 $ z \mapsto z^{\ell(\cdot)} $ が単位円板から $ M_0A(G) $ への正則性を示す。
• フェージェー核を用いて、正則族 $ \varphi_z $ を平均化し、$ A(G) $ に一様有界な完全有界マルチプライヤーノルムを持つ近似恒等元を構成する。
• $ r \to 1 $ のとき $ \varphi_r \to 1 $ が点単位で成り立ち、$ r \in [0,1) $ のとき $ \varphi_r $ がフォーリエ＝スティルチェス代数の単位球面上にあることを利用する。
• フェージェー平均の収束性と $ z \mapsto \varphi_z $ の連続性を用いて、$ \|\psi_{N,r}\|_{M_0A(G)} \leq 1 $ を満たす $ A(G) $ 内のネットを構成し、$ A(G) $-ノルムで恒等元に収束させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群の弱アーベル性は、一様有界表現の正則族を用いて確立可能か？
• RQ2 写像 $ z \mapsto z^{\ell(g)} $ は、開単位円板へと $ A(G) $ の完全有界マルチプライヤー空間への正則関数として拡張可能か？
• RQ3 コクセター群のカウリング＝ハウガープ定数は何か？ そしてそれが正確に1であることを示せるか？
• RQ4 特性関数 $ \chi_n $ の $ M_0A(G) $ 内でのノルムは、群に依存しない $ n $ に関する一様有界性を持つだろうか？

主な発見

• 写像 $ z \mapsto z^{\ell(\cdot)} $ は、$ M_0A(G) $ に値をとる開単位円板上で正則であり、$ M_0A(G) $ 内でのべき級数のノルム収束によって示される。
• $ \chi_n $ の完全有界作用素ノルムは、$ \kappa $ がコクセター系 $ (G,S) $ のみに依存するとき、$ 2\pi e \left(1 + \frac{4\pi}{\kappa}n\right) $ で有界である。
• 構成された $ A(G) $ 内の近似恒等元は、フェージェー和を用いた正則族の平均化により、完全有界マルチプライヤーノルムが1で一様に有界であることが示された。
• $ r \to 1 $ のとき、$ \varphi_r \to 1 $ は $ G $ 上で局所一様に成り立ち、弱アーベル性のための重要な条件を満たす。
• 任意のコクセター群のカウリング＝ハウガープ定数は正確に1である。構成された近似恒等元がノルム1に達するからである。
• 証明は、単位円板上へのユニタリ表現の解析接続を用いており、一様有界性を保ったままであり、実軸を超えてユニタリティに依存しない。