[論文レビュー] Weak amenability of Fourier algebras and local synthesis of the anti-diagonal

Hun Hee Lee, Jean Ludwig+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、連結なリー群 $G$ のフーリエ代数 $A(G)$ が弱アーベル的であるのは、$G$ がアーベル的である場合に限ることを確立する。$A(G)$ の弱アーベル性と、$A(G \times G)$ 内の反対角線 $\check{\Delta}_G = \{(g,g^{-1}) : g \in G\}$ の局所合成性を結びつけることで、非アーベルな連結リー群がこの条件を満たさないことを証明し、$A(G)$ の弱アーベル性が恒等成分 $G_e$ のアーベル性によって正確に特徴づけられることを示している。この結果は、コンパクト群および半単純群に関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

We show that for a connected Lie group $G$, its Fourier algebra $A(G)$ is weakly amenable only if $G$ is abelian. Our main new idea is to show that weak amenability of $A(G)$ implies that the anti-diagonal, $\\check{\\Delta}_G=\\{(g,g^{-1}):g\\in G\\}$, is a set of local synthesis for $A(G\ imes G)$. We then show that this cannot happen if $G$ is non-abelian. We conclude for a locally compact group $G$, that $A(G)$ can be weakly amenable only if it contains no closed connected non-abelian Lie subgroups. In particular, for a Lie group $G$, $A(G)$ is weakly amenable if and only if its connected component of the identity $G_e$ is abelian.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群 $G$ のフーリエ代数 $A(G)$ が弱アーベル的であるための正確な条件を同定すること。
• 弱アーベル性 $A(G)$ が恒等成分 $G_e$ がアーベル的であることを含意するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 非アーベル群（例：$\mathrm{SU}(2)$、ヘイゼンベルク群）に関する先行結果を、スペクトル合成性質に基づく一般基準によって拡張すること。
• 弱アーベル性 $A(G)$ と $A(G \times G)$ 内の反対角線 $\check{\Delta}_G$ の局所合成性を結びつけることで、バナッハ代数コホモロジーと調和解析との間の新しい構造的関係を提供すること。

提案手法

• 弱アーベル性 $A(G)$ と $A(G \times G)$ 内の反対角線 $\check{\Delta}_G$ の局所合成性との間の新しい関係を確立する。
• 弱アーベル性 $A(G)$ が、コホモロジー双対性とモジュール構造解析を介して、$A(G \times G)$ における $\check{\Delta}_G$ が局所合成の集合であることを示す事実を用いる。
• 既知のスペクトル合成に関する結果を適用する：非アーベルな連結リー群（例：$\mathrm{SU}(2)$、$\mathbb{H}^r$、$E$）では、反対角線が局所合成の集合でない。
• 閉部分群におけるフーリエ代数の制限定理を用い、$A(G)$ が弱アーベル的であれば、任意の閉連結リー部分群 $H \leq G$ に対しても $A(H)$ が弱アーベル的であり、ゆえに $H$ はアーベル的でなければならないことを示す。
• 弱アーベル的バナッハ代数の商が再び弱アーベル的であるという事実を活用し、$G$ に非アーベルなリー部分群が存在しないことを排除する。
• リー代数および閉部分群の構造（例：群 $\overline{E} = \mathbb{C} \rtimes \mathbb{R}^{ap}$）を用いて、特定の非アーベル群が非アーベルな閉連結リー部分群を含まないが、そのフーリエ代数はまだ弱アーベル性について分類されていないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群 $G$ に対して、$A(G)$ の弱アーベル性はその恒等成分 $G_e$ がアーベル的であることを含意するか？
• RQ2 任意の $A(G)$ が弱アーベル的であるとき、$A(G \times G)$ 内の反対角線 $\check{\Delta}_G = \{(g,g^{-1}) : g \in G\}$ は局所合成の集合であるか？
• RQ3 非アーベルリー群に対して、$A(G \times G)$ 内の $\check{\Delta}_G$ の局所合成の失敗が、$A(G)$ の弱アーベル性を妨げる要因となるか？
• RQ4 非アーベルな閉連結リー部分群を含まない群 $G$ に対し、$A(G)$ が still で弱アーベル的である可能性はあるか？
• RQ5 弱アーベル性 $A(G)$ と $A(G \times G)$ 内の反対角線のスペクトル合成性質との正確な関係は何か？

主な発見

• 連結リー群 $G$ に対して、フーリエ代数 $A(G)$ は $G$ がアーベル的であるときかつそのときに限り弱アーベル的である。
• 弱アーベル性 $A(G)$ は、$A(G \times G)$ における反対角線 $\check{\Delta}_G$ が局所合成の集合であることを含意するが、これはすべての非アーベル連結リー群で成立しない。
• $G$ が $\mathrm{SU}(2)$、ユークリッド運動群 $E$、ヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}^r$、またはそれらの商群であるとき、$A(G \times G)$ 内の反対角線 $\check{\Delta}_G$ は局所合成の集合でない。
• 任意の局所コンパクト群 $G$ に対して、$A(G)$ が弱アーベル的であれば、$G$ の任意の閉連結リー部分群はアーベル的でなければならない。
• 群 $\overline{E} = \mathbb{C} \rtimes \mathbb{R}^{ap}$ は、非アーベルな可解連結群であり、非アーベルな閉連結リー部分群を含まないが、$A(\overline{E})$ の弱アーベル性は未だ分類されていない。
• この結果により、$A(G)$ が弱アーベル的であるのは $G_e$ がアーベル的であるときのみであるという予想が解決され、すべての局所コンパクト群に対してその正当性が確認された。