[論文レビュー] Weak Amenability of Hyperbolic Groups

Narutaka Ozawa|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、語長距離に関連するシュール乗算子の完全有界ノルムの均一な上限を確立することで、双曲的群が弱アーベル的であることを証明する。ハイガープおよびボジェイコ＝ピカデロのインスピレーションを受ける組合せ的アプローチにより、測地的ペアによってインデックス付けられたヒルベルト空間のベクトルを用いて、正則なシュール乗算子族を構成し、明示的な定数の見積もりなしに弱アーベル性を導く。

ABSTRACT

We prove that hyperbolic groups are weakly amenable. This partially extends the result of Cowling and Haagerup showing that lattices in simple Lie groups of real rank one are weakly amenable. We take a combinatorial approach in the spirit of Haagerup and prove that for the word length metric d on a hyperbolic group, the Schur multipliers associated with r^d have uniformly bounded norms for 0

研究の動機と目的

• 双曲的群の弱アーベル性を確立し、ランク1のリー群の格子に関するカウリング＝ハウガープの結果を拡張する。
• 有界次数の双曲的グラフにおける核 $ r^{d(x,y)} $ に対して、シュール乗算子のノルムの均一な上限を組合せ的証明により確立する。
• ハイガープの木に関する結果およびボジェイコ＝ピカデロの推定値を、双曲的群の設定に一般化する。
• ロウが提起した、双曲的群の弱アーベル性に関する問題を解決する。

提案手法

• 測地的ペアの開発と細さの性質を用いて、距離集合 $ E(n) = \{(x,y) : d(x,y) \leq n\} $ を互いに素な部分集合 $ Z(k,l) $ に分解する。
• 正規直交性と均一なノルム上限を持つヒルベルト空間のベクトル $ \eta^{\pm}_{m}(w) $ を $ \ell_2(\mathfrak{P}_f(\Gamma))^{\otimes(1+R_1)} $ に定義する。
• 単位円板内の $ z \in \mathbb{D} $ に対して核 $ z^{d(x,y)} $ を用い、$ \|\zeta^{\pm}_z(w)\|^2 \leq C|1-z|/(1-|z|) $ を満たす正則族 $ \zeta^{\pm}_z $ を通じてシュール乗算子族を構成する。
• 定理3を適用して、シュール乗算子 $ \theta_z $ の完全有界ノルムを $ C|1-z|/(1-|z|) $ で抑え、正則性と一様性を保証する。
• $ \theta_z $ のノルム上限とボジェイコ＝ピカデロ型の推定値を組み合わせ、$ \{(x,y) : d(x,y) = n\} $ の特性関数のノルムを制御する。
• 各 $ f_n \to 1 $ が点wise収束する有限台関数 $ f_n $ の列を構成し、関連するシュール乗算子のcbノルムが一様に有界であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的群は弱アーベル的であるか？ もしそうなら、明示的な定数の見積もりなしにこれを証明できるか？
• RQ2 双曲的グラフにおける核 $ r^{d(x,y)} $ に対して、$ 0 < r < 1 $ のとき完全有界ノルムが一様に有界となるシュール乗算子が存在するか？
• RQ3 $ \{(x,y) : d(x,y) = n\} $ の特性関数が、双曲的グラフにおいてノルムが $ C(n+1) $ で抑えられるシュール乗算子をもつか？
• RQ4 単位円板の境界付近でのノルム成長を制御できるように、核 $ z^{d(x,y)} $ に対して正則なシュール乗算子族を構成できるか？
• RQ5 関数 $ f_n $ を $ \mathbb{N}_0 $ 上に有限台で構成し、$ f_n \to 1 $ が点wise収束するようにし、関連するシュール乗算子のcbノルムが一様に有界となるようにできるか？

主な発見

• 任意の有界次数の双曲的グラフ $ \Gamma $ と語長距離 $ d $ に対して、$ z \in \mathbb{D} $ に対して核 $ z^{d(x,y)} $ に関連するシュール乗算子の完全有界ノルムは、$ C|1-z|/(1-|z|) $ 以下であり、$ C $ は $ z $ に依存しない。
• $ \{(x,y) : d(x,y) = n\} $ に関連するシュール乗算子の完全有界ノルムは、$ C(n+1) $ 以下であり、$ C $ は一様な定数である。
• $ \mathbb{N}_0 $ 上に有限台関数 $ f_n $ の列が存在し、$ f_n \to 1 $ が点wise収束し、関連するシュール乗算子 $ f_n(d(x,y)) $ の完全有界ノルムが一様に有界である。
• この構成により、弱アーベル性の条件を満たす列 $ \varphi_n(x) = f_n(d(e,x)) $ が得られ、すべての双曲的群が弱アーベル的であることを証明する。
• 正確な弱作用素定数を計算することなく、自由群や木に関する結果を双曲的設定に一般化する。
• この方法はボウディッチの意味での一様に細かい双曲的グラフに拡張可能であり、乗算子族の正則構造により解析的制御が可能である。