[論文レビュー] Weak and strong error analysis for mean-field rank based particle approximations of one dimensional viscous scalar conservation law

Oumaima Bencheikh, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、不連続な移流係数を有する1次元の粘性スカラー保存則を近似するための平均場ランクベース粒子系の最適収束速度を確立する。ランクベース相互作用を有する粒子のEuler離散化を分析することで、$L^1$-ノルムにおける弱誤差バウンドが$O(1/N + h)$のオーダーで得られ、最適な粒子初期化および時間刻み制御のもとで理論的推定を数値シミュレーションで確認する。

ABSTRACT

In this paper, we analyse the rate of convergence of a system of $N$ interacting particles with mean-field rank based interaction in the drift coefficient and constant diffusion coefficient. We first adapt arguments by Kolli and Shkolnikhov to check trajectorial propagation of chaos with optimal rate $N^{-1/2}$ to the associated stochastic differential equations nonlinear in the sense of McKean. We next relax the assumptions needed by Bossy to check convergence in $L^1(\mathbb{R})$ with rate ${\mathcal O}(\frac{1}{\sqrt N} + h)$ of the empirical cumulative distribution function of the Euler discretization with step $h$ of the particle system to the solution of a one dimensional viscous scalar conservation law. Last, we prove that the bias of this stochastic particle method behaves in ${\mathcal O}(\frac{1}{N} + h)$. We provide numerical results which confirm our theoretical estimates.

研究の動機と目的

• 1次元の粘性スカラー保存則の解を近似するための平均場ランクベース粒子系の収束速度を分析すること。
• 従来の弱誤差結果を、累積分布関数を経由したランクベース相互作用によって依存する不連続な移流係数を有する系へと拡張すること。
• Euler離散化された粒子系のバイアスが、$N$を粒子数、$h$を時間刻みとすると$O(1/N + h)$のオーダーで振る舞うことを確立すること。
• 理論的誤差バウンドを数値的に検証し、粒子数に依存する$O(1/N)$および時間刻みに依存する$O(h)$の依存関係を示すこと。

提案手法

• KolliとShkolnikhovの議論を適応し、ランクベース相互作用を有するMcKean型SDEに対して、$N^{-1/2}$のレートでパスワイズの混沌の伝播を証明する。
• Bossy（2000）の仮定を緩和し、Euler離散化された粒子系の経験的累積分布関数が、$O(1/√{N} + h)$のレートで粘性保存則の解に$L^1$収束することを証明する。
• 可積分性条件の下で確率積分とLebesgue積分を入れ替えるための確率的Fubini定理を用いる。
• Girsanovの定理を適用し、解の分布が密度を有することを示し、SDEとFokker-Planck方程式を結びつける。
• 弱誤差解析における誤差項を制御するため、熱核$G_t(x)$の空間微分に関する推定を導出する。
• i.i.d.および最適な決定的初期化の両方を用いた数値実験を実装し、理論的誤差レートの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な移流係数を有する粘性スカラー保存則を近似する平均場ランクベース粒子系のEuler離散化における弱誤差レートは何か？
• RQ2 滑らかな移流係数に対しては知られている$O(1/N + h)$の弱誤差バウンドは、不連続なランクベース移流係数を有する系へと拡張可能か？
• RQ3 初期粒子配置の選択（i.i.d.対比決定的最適）が収束速度に与える影響は何か？
• RQ4 弱$L^1$-誤差の数値的挙動は$N$および$h$に依存してどのように変化するか？理論的予測と一致するか？

主な発見

• Euler離散化された粒子系の経験的測度と粘性保存則の真の解との間の$L^1$-ノルムにおける弱誤差は、$O(1/N + h)$でバウンドされ、理論的レートが確認された。
• 数値結果から、$h$を固定した場合に弱$L^1$-誤差が$N^{-1}$に比例して減少することが確認され、$N$を2倍にした際の減少比は約2に一致する。
• $N$を固定した場合、弱$L^1$-誤差は$h$に比例して減少し、$h$を半分にした際の減少比も約2に一致し、$O(h)$依存関係が裏付けられた。
• 誤差挙動は異なる拡散係数に対しても安定している：$σ^2 = 0.05$、$0.2$、$20$のいずれに対しても$O(1/N + h)$が成り立つが、$σ^2$が大きいほど$h$依存性を分離するための粒子数を増やす必要がある。
• $σ^2 = 0.2$の場合、$N = 100$で弱$L^1$-誤差は約$0.01018$、$N = 3200$では$0.000383$に低下し、$N^{-1}$スケーリングと整合的である。
• $h$を$1/2$から$1/256$に減少させた際、弱$L^1$-誤差は$0.0795$から$0.000483$に低下し、減少比は一貫して約2であり、$O(h)$の挙動が確認された。