[論文レビュー] Weak and strong solutions of general stochastic models

Thomas G. Kurtz|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、入力と出力の間の適合性条件を導入することで、ヤマダ＝ワタナベの定理を抽象的な確率的モデルへ一般化し、パスごとの一意性を満たす弱解が、入力を支持する任意の確率空間上で強解の存在を示すことを確立している。主な貢献は、SDE、SPDE、および後向きSDEを含む一般の確率的設定において、弱解と強解を結びつける統一的な枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Typically, a stochastic model relates stochastic "inputs" and, perhaps, controls to stochastic "outputs". A general version of the Yamada-Watanabe and Engelbert theorems relating existence and uniqueness of weak and strong solutions of stochastic equations is given in this context. A notion of {\em compatibility} between inputs and outputs is critical in relating the general result to its classical forebears. The relationship between the compatibility condition and the usual formulation of stochastic differential equations driven by semimartingales is discussed.

研究の動機と目的

• イト拡散を超える一般の確率的モデルへ、古典的なヤマダ＝ワタナベの定理およびエンゲルベルクの定理を拡張すること。
• 確率的入力と出力を含む抽象的設定において、弱解と強解の関係を形式化すること。
• 弱解と強解を結ぶための鍵となる条件として、入力プロセスと出力プロセスの間の適合性の概念を導入し、その分析を行うこと。
• パスごとの一意性と弱解の存在が、入力を支持する任意の確率空間上で強解の存在を示すこと。
• SDE、SPDE、および後向きSDEを含む、さまざまな確率的モデルを、単一の理論的枠組みで統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 確率的モデルを、$S_2$ に値をとる入力 $Y$ と $S_1$ に値をとる出力 $X$ の間の制約として形式化する。ここで $S_1$ および $S_2$ は完備かつ可分な距離空間である。
• 弱解を、入力分布 $\nu$ を持つ $\mathcal{S}_{\Gamma,\nu}$ に属する連合分布 $\mu_{X,Y}$ として定義し、強解を、あるボレル可測関数 $F$ に対して $X = F(Y)$ がほとんど確実に成り立つものとして定義する。
• 出力過程が入力のフィルトレーションに適合するように、フィルトレーションの適合性を通じて $X$ と $Y$ の間の適合性条件を導入する。
• ジャクブウスキの位相と弱収束の技法を用いて、$D_{\mathbb{R}^d}[0,\infty)$ 内の近似列の相対的コンパクト性を証明する。
• マイヤー＝ジエン条件を用いて、係数の適切な成長条件の下で、近似列のtightnessおよび収束性を確立する。
• 主定理を時刻変換付きSDEおよびマルティングル問題に適用し、オイラー近似の極限点が適合性のもとで元の式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の確率的モデルにおいて、弱解の存在が強解の存在を示すための条件は何か？
• RQ2 入力プロセスと出力プロセスの間の適合性の概念をどのように形式化すれば、ヤマダ＝ワタナベの枠組みを一般化できるか？
• RQ3 パスごとの一意性が、入力を支持するすべての確率空間上で強解の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 近似スキーム（例：オイラー型）をどのように用いて弱解を構成し、適合解への収束を保証できるか？
• RQ5 古典的SDEを超える一般の確率的モデルのどのクラスにおいて、弱解と強解の同値性が成立するか？

主な発見

• パスごとの一意性を満たす弱解が、入力を支持する任意の確率空間上で強解の存在を示す。これは古典的なヤマダ＝ワタナベの定理を一般化するものである。
• 入力と出力の間の適合性条件により、出力過程が入力のフィルトレーションに適合することが保証され、これが強解の構成を可能にする。
• 時刻変換付きSDE $X(t) = X(0) + \sum_k W_k(\int_0^t \beta_k(X(s))ds)\zeta_k + \int_0^t F(X(s))ds$ に対して、係数が連続であれば、オイラー近似の任意の極限点は適合解である。
• 適切な成長条件（例：有界性）のもとで、オイラー近似列 $\{X_n\}$ は $D_{\mathbb{R}^d}[0,\infty)$ 内で相対的コンパクトであり、分布収束が保証される。
• 強解が存在するとき、解の連合分布は入力分布 $\nu$ によって決定され、強解は分布的性質である。
• マルティングル問題の定式化は特別な場合として回復される：$X$ が $Y$ と適合するならば、$X$ は生成子 $Af(x) = \frac{1}{2}\sum_{i,j} a_{ij}(x)\partial_i\partial_j f(x) + F(x)\cdot \nabla f(x)$ に対してマルティングル問題を満たし、$a(x) = \sum_k \beta_k(x)\zeta_k\zeta_k^T$ である。