[論文レビュー] Weak and Strong Type <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> </mml:math> - <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:msub> </mml:math> Estimates for Sparsely Dominated Operators.

Dorothee Frey, Zoe Nieraeth|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 40被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、核にホルマンダー条件を要しないスパースに支配される作用素 T ∈ S(p₀, q₀) に対して、鋭い重み付き弱型 (p₀, p₀) および強型 (p, p) 評価を確立し、定量的な A₁–A∞ 評価を示す。重み付き弱型の新たな議論を、完全にキャンセルされる「悪い」部分を有する Calderón–Zygmund 分解を用いて導入し、端点における非重み付き作用素ノルムの漸近的挙動を用いて強型評価の最適性を証明する。

ABSTRACT

We consider operators <i>T</i> satisfying a sparse domination property <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow><mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:munder><mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>'</mml:mo></mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> with averaging exponents <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> . We prove weighted strong type boundedness for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and use new techniques to prove weighted weak type <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> boundedness with quantitative mixed <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> </mml:math> - <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:msub> </mml:math> estimates, generalizing results of Lerner, Ombrosi, and Pérez and Hytönen and Pérez. Even in the case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> we improve upon their results as we do not make use of a Hörmander condition of the operator <i>T</i>. Moreover, we also establish a dual weak type <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>'</mml:mo></mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>'</mml:mo></mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> estimate. In a last part, we give a result on the optimality of the weighted strong type bounds including those previously obtained by Bernicot, Frey, and Petermichl.

研究の動機と目的

• スパースに支配される作用素 T ∈ S(p₀, q₀) に対して、定量的な A₁–A∞ 界を伴う鋭い重み付き弱型 (p₀, p₀) 評価を確立すること。
• p₀ < p < q₀ に対して強型 (p, p) 重み付き評価を証明し、既知の Ap 評価を一般化するとともに、ホルマンダー条件を回避することで先行研究を改善すること。
• 結果を一般のダブリング距離測度空間（リーマン多様体や有界領域を含む）に拡張すること。
• 非重み付き作用素ノルムの端点における漸近的挙動を分析することにより、強型重み付き評価の最適性を確立すること。
• 作用素クラスの双対性を完成させるために、双対弱型 (q′₀, q′₀) 評価を確立すること。

提案手法

• 『悪い』部分 b が完全にキャンセルされるように重みを組み込んだ Calderón–Zygmund 分解を用いて、スパース作用素に対する新しい重み付き弱型議論を導入する。
• Lerner, Ombrosi, および Pérez [LOP09] の主要な補題の一般化を用い、重み付き弱ノルムをスパースモデル作用素によって制御する。
• ルビオ・デ・フランシア反復アルゴリズムを適用して、A₁ および Lp 界を満たす主要化関数 R|f| を構成し、補間およびノルム推定を可能にする。
• 端点 p₀ および q₀ における非重み付き作用素ノルムの増加率と関連付けることで、[w(q₀/p)′]Aφ(p) を特徴とする A₁–A∞ 評価を確立する。
• 双対作用素 T∗ ∈ S(q′₀, p′₀) を用いて、スパース支配性の対称性と双対性により、双対弱型 (q′₀, q′₀) 評価を導出する。
• 非重み付き作用素ノルムの増加率 αT(p₀) および γT(q₀) と比較することで、境界 ∥T∥Lp(w)→Lp(w) ≲ [w(q₀/p)′]β/(q₀/p)′ Aφ(p) の指数 β が最適であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核にホルマンダー条件を仮定しないスパースに支配される作用素に対して、鋭い A₁–A∞ 評価を弱型 (p₀, p₀) 評価に適用できるか？
• RQ2 T ∈ S(p₀, q₀) に対して、重み付き強型評価 ∥T∥Lp(w)→Lp(w) ≲ [w(q₀/p)′]β/(q₀/p)′ Aφ(p) の最適な指数 β は何か？
• RQ3 非重み付き作用素ノルム ∥T∥Lp→Lp が p → p₀⁺ または p → q₀⁻ のときの漸近的挙動は、重み付き評価の鋭さをどのように決定するか？
• RQ4 同じフレームワークを用いて、(p₀, p₀) の場合と同様に、双対弱型 (q′₀, q′₀) 評価を導出できるか？
• RQ5 A₁–A∞ 評価における指数 β は最適であり、非重み付きノルムの増加率 αT(p₀) および γT(q₀) とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、核にホルマンダー条件を要しない T ∈ S(p₀, q₀) に対して、定量的な A₁–A∞ 界を伴う鋭い重み付き弱型 (p₀, p₀) 評価を証明し、Lerner–Ombrosi–Pérez や Hytönen–Pérez の結果を改善する。
• 双対弱型 (q′₀, q′₀) 評価が確立され、作用素クラスの双対性が完全に完成する。
• 強型重み付き評価 ∥T∥Lp(w)→Lp(w) ≲ [w(q₀/p)′]β/(q₀/p)′ Aφ(p) が最適であることが示され、β ≥ max( p₀/(p−p₀) αT(p₀), (q₀/p)′ γT(q₀) ) が成り立つ。
• p₀ = 1 の場合、核の正則性やホルマンダー型条件に依存しないため、従来の結果よりも A₁–A∞ 評価が改善される。
• 最適性の結果は、ルビオ・デ・フランシア反復法により証明され、非重み付き作用素ノルムの端点における増加率と重み付き指数の鋭さが結びつけられる。
• 多様体に複数の端を持つリーマン多様体上でのリーマン変換の例において、γT(n) = (n−1)/n となることが確認され、境界における指数の鋭さが裏付けられる。