[論文レビュー] Weak Approximation of Reflected Diffusions on The Positive Half-Line by Solutions of SDE

Cameron Bruggeman, Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、大きなドリフト係数を用いて反射境界を模倣するソフトバリアを生成することで、正の半直線上の反射型拡散過程を弱く近似するためのペナルティ法を提案する。主な貢献は、スケール関数の収束を用いた弱収束の証明であり、反射型拡散過程の厳密な近似フレームワークを確立する。

ABSTRACT

Consider a reflected diffusion on the positive half-line. We approximate it by solutions of stochastic differential equations using the penalty method: We emulate the hard barrier of reflection by a soft barrier of a large drift coefficient, which compells the diffusion to return to the positive half-line. The main tool of the proof is convergence of scale functions.

研究の動機と目的

• 正の半直線上の反射型拡散過程の弱近似法を開発すること。
• SDEにおけるソフトバリアを用いたハードな反射境界の近似の課題に対処すること。
• 近似過程の弱収束を、真の反射型拡散過程へと確立すること。
• 収束の証明に用いるスケール関数を用いた厳密な解析的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 大きなドリフト係数を導入することでペナルティ法を用い、原点からの排斥をもたらすソフトバリアを構築する。
• 原点より下への逸脱をペナルティ化するドリフト項を有する補助的SDEを構築し、反射を模倣する。
• 元の過程と近似過程の挙動を分析・比較するために、拡散過程に関連するスケール関数を用いる。
• 近似過程のスケール関数が反射型拡散過程のスケール関数に収束することを証明することで、弱収束を確立する。
• スケール関数の性質を活用して、有限次元分布の分布収束を導出する。
• 拡散過程の生成作用素とスケール関数の関係を活用して、近似の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の半直線上の反射型拡散過程は、ソフトバリアを有するSDEの解によって弱く近似可能か？
• RQ2 ペナルティ項におけるドリフト係数の選択が、近似過程の収束に与える影響は何か？
• RQ3 スケール関数は、近似SDEの弱収束の証明においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 スケール関数の収束が、対応する拡散過程の弱収束を保証するのに十分か？
• RQ5 スケール関数といった解析的ツールを用いて、ペナルティ法を厳密に正当化できるか？

主な発見

• ペナルティパラメータ（ドリフト係数）が無限大に近づくにつれて、近似SDEは反射型拡散過程に弱収束する。
• 近似過程のスケール関数の収束を用いて収束が確立される。
• 近似過程のスケール関数が反射型拡散過程のスケール関数に収束し、有限次元分布の分布収束が示唆される。
• 本手法は、標準的なSDEを用いたシミュレーションが可能である構成的かつ解析的に取り扱いやすいアプローチを提供する。
• スケール関数の使用により、経路ごとの近似を必要とせず、弱収束の厳密な証明が可能となる。
• スケール関数が利用可能な場合、吸収的または反射的境界を有する他の拡散過程に対しても、本フレームワークは一般化可能である。