[論文レビュー] Weak Cartan inclusions and non-Hausdorff groupoids

R. Exel, David R. Pitts|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、分離可能な C*-代数の弱カーテン包含が、本質的群札 C*-代数を介して位相的に自由でねじれたエタール群札から生じることを確立している。標準状態を特徴づけの道具として導入し、$C^*_{ess}(G, L)$ の単純性基準を証明することで、非ハウスドルフな設定における群札モデルとカーテン包含を統合している。

ABSTRACT

Given a non-necessarily Hausdorff, topologically free, twisted etale groupoid $(G, L)$, we consider its essential groupoid C*-algebra, denoted $C^*_{ess}(G, L)$, obtained by completing $C_c(G, L)$ with the smallest among all C*-seminorms coinciding with the uniform norm on $C_c(G^0)$. The inclusion of C*-algebras $(C_0(G^0), C^*_{ess}(G, L))$ is then proven to satisfy a list of properties characterizing it as what we call a Cartan inclusion. We then prove that every weak Cartan inclusion $(A, B)$, with $B$ separable, is modeled by a topologically free, twisted etale groupoid, as above. In another main result we give a necessary and sufficient condition for an inclusion of C*-algebras $(A, B)$ to be modeled by a twisted etale groupoid based on the notion of canonical states. A simplicity criterion for $C^*_{ess}(G, L)$ is proven and many examples are provided.

研究の動機と目的

• 非ハウスドルフでねじれたエタール群札へのカーテン包含理論の拡張。
• 分離可能な $B$ を持つすべての弱カーテン包含が、位相的に自由でねじれたエタール群札から生じることの証明。
• ねじれた群札を用いた包含のモデル化の必要十分条件を、標準状態を用いて提供すること。
• $C^*_{ess}(G, L)$ の本質的群札 C*-代数の単純性基準を確立すること。

提案手法

• uniform norm が $C_c(G^0)$ 上で一致する最小の C*-セミノルムを用いて、$C_c(G, L)$ の完備化として $C^*_{ess}(G, L)$ を定義する。
• $(C_0(G^0), C^*_{ess}(G, L))$ の包含が弱い意味でのカーテン包含の公理を満たすことを証明する。
• 標準状態の概念を用いて、C*-包含がねじれたエタール群札によってモデル化可能かどうかを特徴づける。
• 位相的自由性を仮定して、分離可能な $B$ を持つ任意の弱カーテン包含に対して群札モデルを構成する。
• 本質的群札 C*-代数の構成を応用し、ハウスドルフでない場合へのカーテン理論の一般化を行う。
• 非ハウスドルフおよび非局所コンパクトな設定における理論の説明のための明示的例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ハウスドルフな設定において、どの C*-包含がねじれたエタール群札によってモデル化可能か？
• RQ2 C*-包含が位相的に自由でねじれたエタール群札から生じるための条件は何か？
• RQ3 標準状態は C*-包含の群札モデルをどのように特徴づけるか？
• RQ4 群札とねじれの観点から、$C^*_{ess}(G, L)$ の正確な単純性条件は何か？
• RQ5 本質的群札 C*-代数の構成は、古典的なカーテン包含をどのように一般化するか？

主な発見

• 分離可能な $B$ を持つすべての弱カーテン包含 $(A, B)$ は、位相的に自由でねじれたエタール群札 $(G, L)$ に対して $(C_0(G^0), C^*_{ess}(G, L))$ として実現される。
• 群札 $G$ が非ハウスドルフであっても、包含 $(C_0(G^0), C^*_{ess}(G, L))$ は弱い意味でのカーテン包含の公理を満たす。
• C*-包含がねじれたエタール群札によってモデル化可能であるための必要十分条件は、標準状態の存在性によって与えられる。
• $C^*_{ess}(G, L)$ の単純性基準が確立され、群札作用のダイナミクスとねじれに依存する。
• この構成により、弱カーテン包含に対する完全な群札モデルが得られ、古典的理論がハウスドルフでない場合へと拡張される。
• 非ハウスドルフおよび非局所コンパクトな設定における理論の説明のため、多数の例が提示される。